【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末归纳提升3 新人教A版选修1-2.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末归纳提升3 新人教A版选修1-2 复数的概念及分类 复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为i，满足i2＝－1，且i同实数间可以进行加、减、乘、除法的运算，结合复数的代数形式z＝a＋bi(a，bR)中，a、b的条件可把复数分为： 复数(z＝a＋bi， 　a、bR) 其中纯虚数中“b≠0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意． 　设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　) A．2　　　　　　　　　　B．－2 C．－ D． 【思路点拨】　先将已知复数化为“a＋bi”的形式，再由纯虚数定义求a. 【规范解答】　法一　＝＝ 为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2，故选A. 法二　＝为纯虚数，所以a＝2，故选A. 【答案】　A 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(aR)不是纯虚数，则(　　) A．a＝－1　　　　　　B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2 【解析】　a2－a－2≠0或， a≠－1且a≠2或a＝2. 综上可知，a≠－1. 【答案】　C 复数的四则运算 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用i，ω的性质，或适当变形创造条件，从而转化为关于i，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用： (1)设ω＝－±i，则ω2＝，＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(nN＋)等． (2)(±i)3＝－1. (3)作复数除法运算时，有如下技巧：＝＝＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化． 　已知复数z＝1－i，则＋＝(　　) A．1－i　　　　　　B．－2i C．1＋i D．－2 【思路点拨】　先计算z1＝，再计算z1＋. 【规范解答】　法一　＝＝ ＝＝－2i， ＋＝－2i＋1＋i＝1－i.故选A. 法二　＝＝z－1－ ＝(－i)－＝－i－＝－2i. ＋＝－2i＋1＋i＝1－i.故选A. 【答案】　A 计算：(1)； (2)＋()2 006. 【解】　(1)＝ ＝－ ＝2(－＋i) ＝－1＋i. (2)＋()2 006＝＋ ＝－ ＝i－ ＝i－i＝0. 共轭复数与模 共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程： (1)|z|＝1z＝； (2)zR?＝z； (3)z≠0，z为纯虚数＝－z. 　设z1、z2C，且|z1|＝1，|z2|≠1，求||的值． 【思路点拨】　利复数模的性质：z·＝|z|2进行化简． 【规范解答】　|z1|＝1， |z1|2＝z1·＝1. 从而||＝||＝||＝＝1. 已知z∈C，解方程z·－3i＝1＋3i. 【解】　z·＝|z|2，把方程变形为 ＝－1＋i， 两边取模得||2＝|z|2＝1＋. 整理得|z|4－11|z|2＋10＝0. 解得|z|2＝1或|z|2＝10. 将其代入得＝－1或＝－1－3i. z＝－1或z＝－1＋3i. 复数的几何意义 1.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题． 2．任何一个复数z＝a＋bi(a，bR)与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一 点(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意|z|、|z－a|的几何意义——距离． 3．复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则． 由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离． 4．复数形式的基本轨迹 (1)当|z－z1|＝r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|＝1. (2)当|z－z1|＝|z－z2|时，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线． 　已知复数z1＝i(1－i)3， (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． 【思路点拨】　(1)利用模的定义求解； (2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合． 【规范解答】　(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)， |z1|＝＝2. (2)法一　|z|＝1，设z＝cos θ＋isin θ， |z－z1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝ ＝. 当sin(θ－)＝1时， |z－z1|取得最大值， 从而得到|z－z1|的最大值2＋1. 法二　|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系