二次型及其规范形.pptVIP

* * 定理 任一秩为r的二次型 均可经过适当的可逆线性替换 化为 其中 ， ， 。 推论 任一秩为r的对称矩阵均合同于一个下列形式 的对角矩阵 其中 。 设 是 n元二次型，且 秩(A) = r： 1．f 是复二次型 存在可逆复线性替换 把 f 化为 其中 。 再令 则 f 被进一步变为 称上式为复二次型的规范形。 定理 任意复二次型均可经过适当的可逆复线性 替换化为规范形且规范形唯一。 推论 对任意一个秩为r的n阶复对称矩阵A，必存 在n阶可逆复矩阵C ，使得 例 设A、B均为n阶复对称矩阵，则 A与B在复数域 上合同的充分必要条件是 2．f 是实二次型 存在可逆实线性替换 把 f 化为 其中 。 再令 则 f 被进一步变为 称上式为实二次型的规范形。 定理（惯性定理） 任意实二次型均可经过适当的 可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一。 推论 对任意一个秩为r的n阶实对称矩阵A，一定 存在n阶可逆实矩阵C，使得 其中p由A唯一确定。 定义 在秩为r的实二次型f的规范形中，系数是 1(或 -1)的平方项个数 p(或 r -p )称为 f 的正(或负)惯 性指数，称 2p - r为 f 的符号差。 注 实二次型的任一标准形中，系数大于(小于)零 的平方项个数即为正(负)惯性指数。 例 已知实对称矩阵 与下述三个对角矩阵 之一合同，试确定之。 解 考虑二次型 对其作可逆线性替换 则