国家集训队2007论文集1.杨弋《Hash在信息学.docVIP

Hash在信息学竞赛中的一类应用 【】 那么，模式串Y的Hash值就可以轻松地求出。记待匹配串X从第i个字符开始的长度为M的子串为Si，则不难发现f(Si+1)和f(Si)的关系： 换个角度，如果不考虑mod q，这个函数就是把字符串看作一个p进制数求出的值，这样，Xi+1就是Xi “左移”一位，然后去掉最前面一位，再加上右面新进来的一位得到的。因此上面的递推公式也是显然的。 有了这个递推公式，不难在线性时间内求出X的所有长度为M的子串的Hash值。 现在把问题扩展到高维的情况。不难发现要计算的Hash值的个数仍然不超过N个，可见，只要有合适的递推方法，仍然可以在线性时间内求出所有子矩阵的Hash值。事实上，一个M1行，M2列的子矩阵可以被看作是M2个“竖条”组成的一个串。我们可以先把每个长度为M1的“竖条”计算出一个Hash值，然后再计算二维情况的Hash值。 需要注意的一点是，在计算一维的Hash值（“竖条”的Hash值）和计算二维的Hash值时使用的b值不能一样，不然不难想到下面反例： 它们并不相同，但是Hash的结果肯定一样。这就违背了使用Hash的初衷。因此，在第一维的计算和第二维的计算中要使用不同的p值。 二维情况时，求出所有长度为M1的“竖条”所需要花费的时间是O(N)的，然后把这些竖条的Hash值看作“字母”计算横向的Hash值（即各个子矩阵的Hash值），所花费的时间也是O(N)的。总时间复杂度仍然是O(N)的。 二维情况的Hash函数为（len1(S)和len2(S)分别表示S在两个维度上的大小）： 类似地，记待匹配矩阵X从第i1行，第i2列为左上角的M1行，M2列的子矩阵为，我们有递推式： 式中和都是一维情况下的Hash值，即预先计算出的“竖条”的Hash值。 扩展到k维情况，则不难想到，先算出所有尺寸为M1×M2×…×Mk-1的子数组的Hash值，再使用类似上面的办法把这些尺寸为M1×M2×…×Mk-1的子数组的Hash值看作一个个字符而使用Rabin-Karp的Hash函数计算出各个尺寸为M1×M2×…×Mk的子数组的Hash值。可见，需要k轮计算就可以算出所有尺寸为M1×M2×…×Mk的子数组的Hash值，时间复杂度为O(kN+M)。 k维时的Hash函数： 类似地可以推出递推式 如果没有最后的mod q操作，那么这个Hash函数可以理解成一个进制转换，当每次的p都取得比当时的字符集还要大的时候，只要Hash值不同就一定能确定内容不同。但是事实上计算出来的Hash值就会大到使这个算法没有意义的程度（比较这个“Hash值”的速度不会比直接比较更快），因此取余是必须的。 一个理想情况下的Hash函数，如果能产生S种不同的值，那么对两个不一样的子数组算出一样的值的可能性就只有1/S。我们的Hash函数当然未必能达到理想情况，但是由“1/S”这个式子不难想到，加大S就能有效地减少判错的可能性。并且还能得出另一个结论：如果一个Hash函数的精确程度不够，只需要再计算一个与之不同的Hash函数，就可以有效地提高正确率！当然，在本题中，时间复杂度已经近似于（因为毕竟这个Hash函数不是理想的Hash函数)O(kN+N*(1/S)*M)了。S只要大小不比N/k小，后一项就不是时间复杂度的瓶颈了，也没有必要在这方面下太大功夫。反而，如果计算多个Hash函数，会显著增加算法的常数。 关于p和q的取值，由于可以理解成一个p进制的转换，再对q取余，应当在范围允许的情况下尽量避免冲突，建议： p不宜过小，不然很容易出错。 q可以取一个质数，然后p选取一个能使对于所有1至p-2的i，pi mod q≠1。 这个Hash函数不但可以这样滚动计算，也可以采用分段，分块，线段树等办法计算和维护，具体的一些办法可以参见后面的一些例题。 例题2 Equal squares (Ural 1486) 题目大意 在一个N×M的字符矩阵中找到两个相同的子正方形矩阵（可以相交），并使找到的两个子正方形矩阵的边长尽量大。 算法分析 有了例题1的经验，在面对本题的时候不难想到，二分查找正方形的边长，然后使用一个Hash表来判断该边长是否可行。Hash函数与例题1的二维情况一致。时间复杂度是O(NMlog(N*M))的。 但是不幸的是，本题时间限制很严，这样做的程序依然会超时。最后在使用一个看上去有点冒险的改动之后，终于通过了本题：直接检查是否产生了相同的Hash函数，如果存在相同的Hash函数，则认为该边长可行，否则即认为它不可行。 这道题目就这样通过了，但是这样的改动是不是太冒险了一点呢？事实上，两个子正方形的内容不同而Hash值相同的可能性很小。所以，一般情况下我们可以认为，如果Hash值相同，则原内容相同。 这里还有一个问题：Hash表存放