人教A选修2-211-12学年高二数学：2.2.1 综合法与分析法 课件(人教A版选修2-2).pptVIP

2．2　直接证明与间接证明 2．2.1　综合法与分析法 理解综合法和分析法的概念及它们的区别，能熟练地运用综合法、分析法证题． 本节重点：综合法与分析法的概念及用分析法与综合法证题的过程、特点． 本节难点：用综合法与分析法证明命题． 1．分析法与综合法既有区别又有联系，分析法是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，每步推理都是寻找该步结论的充分条件，是“执果索因”，综合法是从“已知”看“可知”逐步推向“未知”，每步推理都是“由因导果”，而实际解决问题时，常将两种方法结合起来使用．由已知条件看能得到哪些明显的结论，看待证结论需要这些结论中的哪些才能获证，常常是“分析找思路，综合写过程”． 2．综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”． 综合法和分析法 [分析]　不等式中的a，b，c为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的均值定理，再根据不等式的性质推导出证明的结论． [证明]　∵a2＋b2≥2ab，a0，b0， ∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)． ∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2. ∴a3＋b3≥a2b＋ab2. 同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2. 将三式相加得： 2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋bc2＋b2c＋a2c＋ac2， ∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)． [点评]　1.综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法． 第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． 第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取． 3．综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法．一般问题都是用综合法解决的，要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性． [分析]　要证明上述不等式成立，暂无条件可用，这时可以从所要证明的结论出发，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，即用分析法证明． [点评]　(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式； (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语． [例3]　△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，A、B、C的对边分别为a、b、c. [分析]　条件与结论跨越较大，不易下手，可考虑用分析法证明；由于分析法是执果索因，逐步寻找成立的充分条件，因此分析法的倒退过程就是综合法． 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三内角A、B、C成等差数列，故B＝60°， 由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， 故c2＋a2＝ac＋b2得证． 综合法： 证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列， ∴B＝60°. 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°， 得c2＋a2＝ac＋b2， 等式两边同时加上ab＋bc得 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， [点评]　综合法和分析法各有优缺点．从寻找解题思路来看，综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效；分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功，就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁琐，文辞见长．也就是说分析法利于思考，综合法宜于表述．因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主导求解题思路，再用综合法有条理地表述解答或证明过程． 求证：logn(n＋1)logn＋1(n＋2)(n≥2)． [分析]　先用分析法将所证不等式转化为易证的等价式子，再用综合法进行证明． (2)在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P，若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．一般情况下，用分析法寻找思路，用综合法完成证明． 一、选择题 1．用分析法证不等式：欲证①A