24.1.2垂径定理1.ppt

垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 垂径定理推论 AB是⊙O的一条弦, 且AE=BE. 结束寄语 不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也. * * * * * 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究 　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E. (1)圆是轴对称图形吗? 如果是, 它的对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些相等的线段和弧? 为什么? · O A B C D E (1)圆是轴对称图形.直径CD所在的直线是它的对称轴. (2) 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合, AE与BE重合, AC、AD分别与BC、BD 重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD⊥AB, ∵ CD是直径, ∴AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. · O A B C D E AE=BE, AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD⊥AB, 过点E作直径CD. 由 CD是直径 AE=BE 可推得 ⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. · O A B C D E 则有: CD⊥AB, AC=BC, AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ③AM=BM, 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ⌒ ⌒ ④AC=BC, ②CD⊥AB, 由 ① CD是直径 ③ AM=BM ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 可推得 Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｅ Ｏ 垂径定理： 推论： 3.下列说法中，正确的是( ) A、圆的任意一条直径都是它的对称轴 B、经过圆心的直线都是圆的对称轴 C、与圆相交的直线是圆的对称轴 D、与半径垂直的直线是圆的对称轴 练习 1.圆是 对称图形,它的对称轴是 . 2.垂直于弦的直径平分 ,并且平分 . 轴 直径所在的直线 弦 弦所对的两条弧 B 4.下列命题正确的个数是( ) (1)垂直于弦的直线平分这条弦 (2)平分弦的直径垂直于这条弦 (3)菱形的四个顶点在同一个圆上 (4)过圆上一点可以作出圆的最长弦能作无数条 A.1个 B.2个 C.3个 D.以上答案都不对 练习 D 判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 　②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　 　必平分此弦所对的弧 例1.已知，⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离是3厘米， 求⊙O的半径. A .O E B 解： 答：⊙O的半径为5cm. ∵OE⊥AB 在Rt△AEO中, 例2.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. ∵OE⊥AC, OD⊥AB, AB⊥AC ∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90° 1.已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 则AC和BD有什么大小关系?试说明理由. 证明:过O作OE⊥AB于E， 则AE=BE，CE=DE。 ∴ AE-CE=BE-DE 即 AC=BD . A C D B O E 若AB=8厘米，CD=4厘米，求圆环的面积。 练习 2.已知，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6厘米，EB=2厘米，∠BED=30°， 求CD的长。 说明： 解决有关圆的问题， 常常需要添加辅助线， 针对各种具体情况，辅助线的添加有一定的规律，本例和上例中作