一类广义的MHD方程强解的全局存在性.doc

一类广义的MHD方程的强解的全局存在性 包忠欢 段礼鹏* 钮维生 摘要：本文主要讨论了一类广义的三维MHD方程强解的全局存在性问题,运用Garlekin逼近方法和较为细致的正则性估计,我们证明了当初值时,外力项时,上述广义的三维方程强解的全局存在性 关键词：广义的方程,强解,全局存在性 中图分类：0175.2 文献标码:A 引言 设是一个带有光滑边界的有界区域,我们考虑以下的广义的MHD方程 这里常数分别为粘性系数和耗散系数,f是外力项,表示压力,表示速度场表示磁场,显然当时,即为经典的方程. 作为磁流体力学问题中的经典模型,在过去的几十年里,MHD方程吸引了许多著名的数学家的关注和兴趣.人们对其解的存在唯一性问题进行了深入和广泛地研究,参见[1,2].同经典的Navier-Stokes方程一样,二维的MHD方程存在着全局弱解和强解,但是三维MHD方程解的全局存在性问题仍然是悬而未决的公开数学难题,对于经典Navier-Stokes方程而言,其强解的全局存在性问题似乎在短期内难以解决.鉴于此,人们考虑了各种正则化的Navier-Stoke方程,如 方程[4],Leray方程[5],等.特别Caraballo与Kloden 等引入了一类广义的Navier-Stokes方程,并证明了三维情形下上述方程强解的全局存在性参见[9], . 众所周知,MHD方程和Navier-Stokes方程在解的存在性,适定性等方面有很多相似性. 在[7,8,9]中, 作者分别考虑了与文献[4,5,6] 中几类正则化的Navier-Stokes方程相对应的几类正则化的方程, 并将关于正则化的Navier-Stokes方程的研究结果推广到了相应的MHD方程.受上述工作的启发, 本文中我们引入一类广义的MHD方程(1.1)并运用Garlekin逼近法证明了三维情形下广义MHD方程强解的全局存在性. 再给出具体结果及证明之前, 我们首先给出一些预备知识 . 记 令 是在中的完备化, 这里中的内积和范数分别为, 其中 令是在中的完备化, 这里中的内积和范数分别为, 其中 令 为 的对偶空间, 为的对偶空间, 易知 定义 为常数,代表算子[10]. 2 强解的全局存在性 本文的主要结果如下 定理1.假设并且对任意给定的,若 则方程(1.1)存在唯一的强解. 证明：考虑方程(1.1)的Garlekin逼近方程 有关Garlekin逼近的细节问题请参考[10],我们分别用与方程(2.2)作内积可以得 上面中两式相加可得 这里是算子的最小特征值. 从而 上式两边分别关于从0到积分,可得 由于 ,故有 由紧定理,可知存在 使得在选取适当的子列的意义下 但是在上述意义下的收敛并不能保证 为了保证能有上述收敛,我们需要做更强的估计,这里用 与方程(2.2)作内积可得 这里我们容易得到以下结果 将(2.3)式的两个方程相加并结合(2.4)式我们得到 这里我们令 首先得到关于的估计 其次可以得到关于估计 同样可以得到关于估计 由此,我们可以得到 对上述不等式关于变量从0到T作积分,可以得到 这里, 从而我们可以得到 进一步可以验证在中有界, 这里需验证 在 中有界,实际上对任意的 由于在中有界.故 容易验证在中 也是有界的,所以我们有在中有界. 类似的可得在中有界. 由 紧定理[3],可知存在 使得在选取适当子列的意义下 根据(2.5)我们对投影方程(2.2)取极限,关于非线性项收敛的证明完全类似于[9],这里省略不证.从而可以得到u,b是方程(1.1) 满足定义(2.1)的强解,故定理可证. 参考文献: [1] O.A.Ladyzhenskaya, V.Solonnikov, Solution of some nonstationary magnetohydrodynamical problems for incompressible fluid[J]. Trudy of Steklov Math. Inst. 1960,69: 115-173.