全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编 48与圆有关的压轴题.doc

与圆有关的压轴题 2014年与圆有关的压轴题，考点涉及：垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理；特殊四边形性质；等.数学思想涉及：数形结合；分类讨论；化归；方程.现选取部分省市的2014年中考题展示，以飨读者. 【题1】（2014年江苏南京,26题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC的内切圆． （1）求⊙O的半径； （2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值． 【分析】：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径． （2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切．所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差．分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得t的值． 【解】：（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，则AD=AF，BD=BE，CE=CF． ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°． ∵∠C=90°， ∴四边形CEOF是矩形， ∵OE=OF， ∴四边形CEOF是正方形． 设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm， ∴AB==5cm． ∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r， ∴4﹣r+3﹣r=5， 解得 r=1，即⊙O的半径为1cm． （2）如图2，过点P作PG⊥BC，垂直为G． ∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC． ∴△PBG∽△ABC，∴．∵BP=t， ∴PG=，BG=． 若⊙P与⊙O相切，则可分为两种情况，⊙P与⊙O外切，⊙P与⊙O内切． ①当⊙P与⊙O外切时， 如图3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PH⊥OE，垂足为H． ∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°， ∴四边形PHEG是矩形， ∴HE=PG，PH=CE， ∴OH=OE﹣HE=1﹣，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣． 在Rt△OPH中， 由勾股定理，， 解得 t=． ②当⊙P与⊙O内切时， 如图4，连接OP，则OP=t﹣1，过点O作OM⊥PG，垂足为M． ∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°， ∴四边形OEGM是矩形， ∴MG=OE，OM=EG， ∴PM=PG﹣MG=，OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣， 在Rt△OPM中， 由勾股定理，，解得 t=2． 综上所述，⊙P与⊙O相切时，t=s或t=2s． 【点评】：本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目． 【题2】（2014?泸州24题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA． （1）求证：BC=CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长． 【考点】： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理． 【分析】： （1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DBC得出结论． （2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC=，再由割线定理PC?PD=PB?PA求得半径为4，根据勾股定理求得AC=，再证明△AFD∽△ACB，得，则可设FD=x，AF=，在Rt△AFP中，求得DF=． 【解答】： （1）证明：∵DC2=CE?CA， ∴=， △CDE∽△CAD， ∴∠CDB=∠DBC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴BC=CD； （2）解：如图，连接OC， ∵BC=CD， ∴∠DAC=∠CAB， 又∵AO=CO， ∴∠CAB=∠ACO， ∴∠DAC=∠ACO， ∴AD∥OC， ∴=， ∵PB=OB，CD=， ∴= ∴PC=4 又∵PC?PD=PB?PA ∴PA=4也就是半径OB=4， 在RT△ACB中， AC===2， ∵AB是直径， ∴∠ADB=∠ACB=90° ∴∠FDA+∠BDC=90° ∠CBA+∠CAB=90° ∵∠BDC=∠CAB ∴∠FDA=∠CBA 又∵∠AFD=∠ACB=90° ∴△AFD∽△ACB ∴ 在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=， ∴在RT△APF中有，， 求得DF=． 【点评】： 本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理