0201计算机辅助设计技术-第3章_工程数据处理.ppt

第三章 工程手册的数据处理 ? 最小二乘法的几种特例 例 题 习 题 3.4.1 线图的表格化处理 如果能把线图转换成表格，那么就可以使用数表的处理方法对其进行处理。现有图3.1所示线图，下面对其进行表格化处理： 在图3.1所示线图上取n个节点（X1，Y1）（X2，Y2）…（Xn,Yn），将其制成表格如表3-3所示。节点数取得越多，精度就越高。节点的选取原则是使各节点的函数值不致相差很大。 图3.1 线图 X1 X2 X3 ……. Xn Y1 Y2 Y3 …… Yn 将线图表格化后，再参照数表处理方法，用程序化或文件化处理方法进行处理。 3.4.2 线图的公式化处理 上述线图的表格化处理方法，不仅工作量较大，而且还需占用大量的存储空间。因此，理想的线图处理方法是对线图进行公式化处理。 线图的公式化处理有两种方法。一种是找到线图原来的公式，另一种是用曲线拟合的方法求出描述线图的经验公式。曲线拟合的方法很多，常用的是最小二乘法。下面介绍曲线拟合的最小二乘法。 表3-3 曲线拟合：将一系列测试数据或统计数据拟合成近似的经验公式。它是一种求近似函数的数值方法。 这种方法的特点：它不要求近似函数在节点处与函数同值，即不要求近似曲线过已知点，只要求它尽可能反映给定数据点的基本趋势，在某种意义下与函数最“逼近”。 最小二乘法拟合的基本思想 已知：由图线和试验所得m个点的值 (xi,yi) 设：拟合公式为 y=f(x) 每个节点的残差值为： ei=f(xi)-yi 残差的平方和为 ： （i=1,2,3,4,…,m） §3－3 建立经验公式的方法 一、最小二乘法 根据给定的数据组（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），选取近似函数形式，即给定函数类H，求函数f(xi) ，使得 为最小。 即： 这种求近似函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法，函数f(x)称为这组数据的最小二乘函数。 §3－3 建立经验公式的方法 拟合曲线与散点的关系 曲线拟合的最小二乘法 最小二乘法的多项式拟合 §3－3 建立经验公式的方法 §3－3 建立经验公式的方法 设拟合公式为 已知m个点的值…..，且mn，结点残差的平方和为 §3－3 建立经验公式的方法 这表明残差的平方和的函数，为使其最小，取对各自变量的偏导数等于零。 §3－3 建立经验公式的方法 待求的系数共（n+1）个，方程也是（n+1）个，因此解此联立方程，就可求得各系数值。 p47 §3－3 建立经验公式的方法 二次多项式拟合 设拟合公式为 设实验数据为m个 §3－3 建立经验公式的方法 §3－3 建立经验公式的方法 — = = p47 最小二乘法的多项式拟合，要注意的问题： 最小二乘法的其他函数的拟合 §3－3 建立经验公式的方法 多项式的幂次不能太高，一般小于7 一组数据或一条线图有时,不能用一个多项式表示其全部，此时应分段处理，分段大都发生在拐点或转折之处，此外如欲提高某区间的拟合精度，则应在该区间上采集更多的点。 综上所述，求数据组的最小二乘法拟合函数的步骤为： （1） 由给定的数据确定近似函数的表达形式，一般可通过描点观察和经验估计得到。 （2） 按最小二乘法原则确定表达式中的参数。值得提出的是：一些简单的非线性最小二乘法问题通常需先作变换将问题化为线性最小二乘问题再求解。 §3－3 建立经验公式的方法 * * * * * 第三章 工程手册的数据处理 第一节 数表的程序化 第二节 线图的程序化 第三节 建立经验公式的方法 一元函数的插值的方法 曲线拟合的最小二乘法 最小二乘法的多项式拟合 本 章 要 点 从总体上说，处理工程数据的方法有以下三种： 1．程序化处理：在编程时将数据以一定的形式直接放于程序中。 （1）将数表离散化后存入一维，或二维的，三维的数组中，然后利用查表、插值等方法检索所需数据。 （2）将数表拟合成公式，编入程序计算出所需数据。 特点：程序与数据结合在一起。 缺点：数据无法共享，增大程序的长度。 2．文件化处理：将数据放于扩展名为.DAT的数据文件中，需要数据时，由程序来打开文件并读取数据。 特点：数据与程序作了初步的分离，实现了有条