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2运动学-2精要
[例题] 由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹,取枪口为原点,沿v0为x轴,竖直向下为y轴,并取发射时t = 0.试求: (1)子弹在任一时刻t 的位置坐标及轨道方程; (2)子弹在t 时刻的速度,切向加速度和法向加速度. (2) [解] (1) y x O ? * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 四.不同坐标系中位移、速度、加速度表达式 位移: r P .0 P1 Δr P2 0 r(t+Δt ) r(t) x y z ΔS · 速度: 加速度: 第2章 质点运动学 定义 速度的大小为: 速度的方向:…… 第2章 质点运动学 1. 直角坐标系: ? 位矢: ? 位移: ? 速度: Y X r j k · Z z y x P 0 i 直角坐标系中的加速度:…… 2.平面极坐标系: 位矢: 速度: θ Δ θ eθ er r(t+Δt ) Δr r(t) p1 p2 第2章 质点运动学 ? ?? ?er θ Δ θ eθ er r(t+Δt ) Δr r(t) p1 p2 第2章 质点运动学 平面极坐标系中加速度: ?? ?e? ?? ?er 平面极坐标系中速度: 径向速度 横向加速度 径向加速度 横向速度 3.自然坐标系: 加速度: p S n τ v O ? 轨道方程: 速度: o P1 P2 △ θ τ(t) τ(t+△t) n 第2章 质点运动学 速度大小 即速率: S = S(t) 切向加速度 代表 速度大小的改变 法向加速度 代表 速度方向的改变 因此 o P1 P2 △ θ τ(t) τ(t+△t) n 第2章 质点运动学 △ θ τ(t+△t) 自然坐标系中的加速度: p S n τ v O ? ? o P1 P2 △ θ ?S 加速度: ——切向加速度 ——法向加速度 所以: 轨道曲线在P1点的曲率半径,即该点内密切圆的半径为? : 定义: 第2章 质点运动学 p S n τ v O ? * * 法向加速度——速度方向改变。 切向加速度——速度大小改变。 R v ? 加速 ? 减速 法向加速度和切向加速度的物理意义 * * [例题] :由定义法求速度与加速度 在离水面高为 h 的岸边,某人用绳子拉船靠岸,人以不变的速率 收绳,求当船在离岸的水平距离为 x 时的 速度、加速度。已知:收绳速率 = 常量,岸高 h 。求:船距岸 x 时, = ?、a = ? * * 分析:对此例,一般容易出现的错误是不从速度的定义分析,而是凭图面上的直觉,认为 就是船头的速率,且运动方向沿着绳,而船沿水面行进的速度正是这一速度的水平投影。设绳与水平夹角为 ,则船速 上述结论是错误的! 对此可作如下分析: 解: 选如图坐标,原点在滑轮处,则船的位矢 。 * * 由速度定义: 由图有 , 故 * * 按题意 代入上式得 故 方向与图中 x 正方向相反。 * * 由此解答可见,船的速度大小: 这里我们看到,前面出现错误的原因就在于把绳子缩短的速率 混淆了位置矢量大小的增量 位置矢量增量的大小之间的区别 当成了绳的 C 端运动的速率 同时还误认为 C 端就是沿绳的方向运动的 * * 由加速度定义 故 船的加速度 a 与图中 x 的正方向相反 由于 a 与 方向相同,故若均匀收缩缆绳时 ( = 常量),船应加速靠近岸! 1.已知运动学方程 ,求v,a , 2.已知a 和某时刻t0 的r0 ,v0 ,求任意时刻的 , ?? 微分 ?? 积分 §2-4. 质点运动学的两类问题 第2章 质点运动学 * * 1.已知 则由 积分得: 如 2.已知 则由 分离变量得: 然后再积分计算: 如 第2章 质点运动学 曲线运动 §2-5. 圆周运动与一般曲线运动 回顾:曲线运动用自然坐标系描述很方便 ——切向单位矢量; ——法向单位矢量 运动方程: 速度: p S n τ v O ? s=s(t) 加速度: 第2章 质点运动学 自然坐标系中: ——切向加速度 ——法向加速度 切向加速度 代表速度大小的改变 法向加速度 代表速度方向的改变 p S n τ v O ? 合加速度大小: 合加速度方向: 第2章 质点运动学 ? ? ? 反过来,也可由a 求? : 对平面曲线 y = y (x), 合
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