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天津一中2013-2014学年高中数学 2.2.2 椭圆的简单几何性质(第3,4课时)导学案 新人教A版选修2-1
2.2.2椭圆的简单几何性质【课前导学】阅读教材第43-45页,完成下列学习
焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 【预习自测】首先完成教材上P46例4,P48第1、2、3题
1、求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦距、焦点和顶点的坐标.
【】例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴长是6,离心率是;
(2)在x轴上的一个焦点,与短轴的两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
例2.过椭圆()的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若,求此椭圆的离心率.
已知椭圆()的两个焦点为F1,F2,A为椭圆上一点,且,,求该椭圆的离心率.
例点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数,求点的轨迹.
例设点、的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线,相交于点,且它们的斜率之积是,求点的轨迹方程.
设点、的坐标分别为(-1,0),(1,0),直线,相交于点,且直线的斜率与直线的斜率的商是,点的轨迹是什么?为什么?
练习二:
1.椭圆x2+4y2=1的离心率为( )
A. B. C. D.
2.椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别是(4,0),(0,2),则此椭圆的方程是( )
A.+=1或+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.椭圆的短轴长为2,长轴端点与短轴端点间的距离为,则此椭圆的标准方程是 .4.已知椭圆的离心率,则的值为 .5.设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(-1),求这个椭圆的方程、离心率、焦点坐标、顶点坐标.
6.如图,椭圆的中心在原点,焦点,在轴上,,是椭圆的顶点,是椭圆上一点,且轴,,求此椭圆的离心率.
练习:
1.椭圆6x2+y2=6的长轴端点坐标为( )
A.(-1,0),(1,0) B.(-6,0),(6,0)
C.(-,0),(,0) D.(0,-),(0,)2.椭圆+=1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A.8,2 B.5,4 C.5,1 D.9,1
3.若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的标准方程为________.
6.已知A为椭圆+=1(ab0)上的一个动点,直线AB、AC分别过焦点F1、F2,且与椭圆交于B、C两点,若当AC垂直于x轴时,恰好有|AF1|∶|AF2|=3∶1,则该椭圆的离心率为 .
7.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点;
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为.
8.设点 是椭圆+=1(ab0)上的一点,,是椭圆的两焦点,是椭圆的离心率.求证:,.
、直线与椭圆的位置关系1.点与椭圆的位置关系
已知平面内点与椭圆(),则
点在椭圆外; 点在椭圆内.
2.直线与椭圆的位置关系:相交、相切、相离
(1)直线与椭圆的位置关系的判断:联立直线与椭圆方程,消去y或x,得到关于x或y的一元二次方程,记该方程的判别式为Δ,则
直线与椭圆相交?Δ0;直线与椭圆相切?Δ=0;直线与椭圆相离?Δ0.
(2)切线问题:过椭圆上的点引切线,则切线方程为 .
(3)弦长问题: 求交点的坐标,转化为两点间距离;
结合韦达定理,利用弦长公式:;
例1.(1)过椭圆上的点引切线,求切线方程.
(2)求过点,并与椭圆相切的直线的方程.
例2.已知椭圆及直线.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数的取值范围;
(2)当直线和椭圆相交时,求被截得的最长弦所在的直线方程.
例3.设直线过点,且倾斜角为.(1)若,求在椭圆上截得的弦长;(2)若,求在椭圆上截得的弦长.
例过椭圆+=1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A、B两点,使线段AB被P点平分,求此直线的方程.
例4.已知椭圆,直线:.椭圆上是否存在一点,它到直线的距离最小?最小距离是多少?
已知为椭圆上异于的一点,若以为边作正,当点变动时,计算的最大面积及条件.
椭圆的中
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