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宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 1.2.2 复合函数的求导法则教案 新人教版选修2-2
宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 1.2.2 复合函数的求导法则教案 新人教版选修2-2
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则.
一.创设情景
(一)基本初等函数的导数公式
(二)导数的运算法则
导数运算法则 1.
2.
3.
(2)推论:
(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)
二.新课讲授
复合函数的概念 一般地,对于两个函数和,如果通过变量,可以表示成的函数,那么称这个函数为函数和的复合函数,记作。
复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
若,则
三.典例分析
例1求y=sin(tan x2)的导数.
【点评】
求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.
例2求y =的导数.
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.
例3求y =sin4x +cos 4x的导数.
【解法一】y =sin 4x +cos 4x=(sin2x +cos2x)2-2sin2cos2x=1-sin22 x
=1-(1-cos 4 x)=+cos 4 x.y′=-sin 4 x.
【解法二】y′=(sin 4 x)′+(cos 4 x)′=4 sin 3 x(sin x)′+4 cos 3x (cos x)′=4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x (-sin x)=4 sin x cos x (sin 2 x -cos 2 x)=-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x
【点评】
解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数,应注意不漏步.
例4曲线y =x(x +1)(2-x)有两条平行于直线y =x的切线,求此二切线之间的距离.
【解】y =-x 3 +x 2 +2 x y′=-3 x 2+2 x +2
令y′=1即3 x2-2 x -1=0,解得 x =-或x =1.
于是切点为P(1,2),Q(-,-),
过点P的切线方程为,y -2=x -1即 x -y +1=0.
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离,故所求距离为=.
四.课堂练习
1.求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x;(2);(3)
2.求的导数
五.回顾总结
六.布置作业
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