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宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 1.4 生活中的优化问题举例教案 新人教版选修2-2
宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 1.4 生活中的优化问题举例教案 新人教版选修2-2
教学目标:
使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用教学难点:教学过程:
二.新课讲授
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面:1、与几何有关的最值问题;2、与物理学有关的最值问题;3、与利润及其成本有关的最值问题;4、效率最值问题。
解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路:
三.典例分析
例1.汽油的使用效率何时最高
我们知道,汽油的消耗量(单位:L)与汽车的速度(单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的消耗量是汽车速度的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题:
是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大?
“汽油的使用率最高”的含义是什么?
分析:研究汽油的使用效率(单位:L/m)就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用表示每千米平均的汽油消耗量,那么,其中,表示汽油消耗量(单位:L),表示汽油行驶的路程(单位:km).这样,求“每千米路程的汽油消耗量最少”,就是求的最小值的问题.
通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究,
人们发现,汽车在行驶过程中,汽油平均消耗率
(即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的
平均速度(单位:km/h)之间有
如图所示的函数关系.
从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率(即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度(单位:km/h)之间关系的问题,然后利用图像中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题.
解:因为
这样,问题就转化为求的最小值.从图象上看,表示经过原点与曲线上点的直线的斜率.进一步发现,当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为90.
因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油消耗量最小,此时的车速约为90.从数值上看,每千米的耗油量就是图中切线的斜率,即,约为 L.
例2.磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常被称为比特(bit)。
为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于,每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题:现有一张半径为的磁盘,它的存储区是半径介于与之间的环形区域.
是不是越小,磁盘的存储量越大?
为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?
解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于与R之间,由于磁道之间的宽度必需大于,且最外面的磁道不存储任何信息,故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达。所以,磁盘总存储量
×
它是一个关于的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是越小,磁盘的存储量越大.
为求的最大值,计算.
令,解得
当时,;当时,.
因此时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
例3.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?
(2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
【背景知识】:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 分,其中 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?
解:由于瓶子的半径为,所以每瓶饮料的利润是
令 解得 (舍去)
当时,;当时,.
当半径时,它表示单调递增,即半径越大,利润越高;
当半径时, 它表示单调递减,即半径越大,利润越低.
半径为cm 时,利润最小,这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
半径为cm时,利润最大.
换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现?
有图像知:当时,,即瓶子的半径为3cm时,饮
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