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宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 1.5.3 定积分的概念教案2 新人教版选修2-2
宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 1.5.3 定积分的概念教案2 新人教版选修2-2
教学目标:
2.借助于几何直观定积分的基本思想,了解定积分的概念,能用定积分定义求简单的定积分;
3.理解掌握定积分的几何意义.
教学重点:定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义.
教学难点:教学过程:
二.新课讲授
1.定积分的概念
一般地,设函数在区间上连续,用分点
将区间等分成个小区间,每个小区间长度为(),在每个小区间上任取一点,作和式:
如果无限接近于(亦即)时,上述和式无限趋近于常数,那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为:,
其中积分号,-积分上限,-积分下限,-被积函数,-积分变量,-积分区间,-被积式。
说明:(1)定积分是一个常数,即无限趋近的常数(时)记为,而不是.
(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割:等分区间;②近似代替:取点;③求和:;④取极限:
(3)曲边图形面积:;变速运动路程;变力做功
2.定积分的几何意义
从几何上看,如果在区间上函数连续且恒有,那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分的几何意义。
说明:一般情况下,定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和,在轴上方的面积取正号,在轴下方的面积去负号。
分析:一般的,设被积函数,若在上可取负值。
考察和式
不妨设
于是和式即为
阴影的面积—阴影的面积(即轴上方面积减轴下方的面积)
思考:根据定积分的几何意义,你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗?
3.定积分的性质
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1;
性质2(定积分的线性性质);
性质3(定积分的线性性质);
性质4(定积分对积分区间的可加性)
(1) ; (2) ;
说明:①推广:
②推广:
③性质解释:
三.典例分析
例1.利用定积分的定义,计算的值。
分析:令;
(1)分割
把区间n等分,则第i个区间为:,每个小区间长度为:;
(2)近似代替、求和
取,则(3)取极限
.
例2.计算定积分
分析:所求定积分是所围成的梯形面积,即为如图阴影部分面积,面积为。
即:
思考:若改为计算定积分呢?
改变了积分上、下限,被积函数在上
出现了负值如何解决呢?(后面解决的问题)
例3.计算定积分
分析:利用定积分性质有,
利用定积分的定义分别求出,,就能得到的值。
四.课堂练习
计算下列定积分
1.
2.
3.课本练习:计算的值,并从几何上解释这个值表示什么?
五.回顾总结
1.定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义.
六.布置作业
P50 3、5
O
x
y
2
1
性质1
性质4
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