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宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 复习课教案 新人教版选修2-2
宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 复习课教案 新人教版选修2-2
3.认识数学本质,把握数学本质,增强创新意识,提高创新能力。
二、教学重点:进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法,形成对数学的完整认识。一、知识结构:
【探索研究】
我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点;揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习,进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法,形成对数学的完整认识。
【例题评析】
例1:如图第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来,(n=1,2,3,…)。则第n-2个图形中共有________个顶点。
变题:黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:
则第n个图案中有白色地面砖 块。
例2:长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为,则
=1,将长方形与长方体进行类比,可猜测的结论为:_______________________;
变题2:数列的前n项和记为Sn,已知证明:
(Ⅰ)数列是等比数列;
(Ⅱ)
例3:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称,求证:
为偶函数。
例4:设Sn=1+ (n1,n∈N),求证: ()
评析:数学归纳法证明不等式时,经常用到“放缩”的技巧。
变题:是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c) 对于一切正整数n都成立?证明你的结论。
解 假设存在a、b、c使题设的等式成立,
这时令n=1,2,3,有
于是,对n=1,2,3下面等式成立
1·22+2·32+…+n(n+1)2=
记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2
(1)n=1时,等式以证,成立。
(2)设n=k时上式成立,即Sk= (3k2+11k+10)
那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
= (3k2+5k+12k+24)=[3(k+1)2+11(k+1)+10]
也就是说,等式对n=k+1也成立
综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设对一切自然数n均成立
【课堂小结】
体会常用的思维模式和证明方法。
【反馈练习】
1.在R上定义运算若不等式对任意实数成立, 则
A. B. C. D.
2.定义A*B,B*C,C*D,D*B分别对应下列图形
那么下列图形中
可以表示A*D,A*C的分别是 ( )
A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(2)、(4) D.(1)、(4)
3 已知f(n) =(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n),则最大的m的值为( )
A 30 B 26 C 36 D 6
解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除
证明 n=1,2时,由上得证,设n=k(k≥2)时,
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则n=k+1时,
f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2) f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除,∴所求最大的m值等于36
4 已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a>0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论
解 (1) 设数列{bn}的公差为d,
由题意得,∴bn=3n-2
(2)证明 由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)
=loga[(1+1)(1+)…(1+ )]
而logabn+1=loga,于是,比较Sn与logabn+1的大小
比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小
取n=1,有(1+1)=
取n=2,有(1+1)(1+
推测 (1+1)(1+)…(1+)> (*)
①当n=1时,已验证(*)式成立
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+)…(1+)>
则当n=k+1时,
,
即当n=k+1时,(*)式成立
由①②知,(*)式对任意正整数n都成立
于是,当a>1时,Sn>logabn+1,当 0<a<1时,Sn<logabn+1
【课外作业】
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