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宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 类比推理教案 新人教版选修2-2
宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 类比推理教案 新人教版选修2-2
类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。
正确认识合情推理在数学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识。
认识数学在日常生产生活中的重要作用,培养学生学数学,用数学,完善数学的正确数学意识。
一.问题情境
从一个传说说起:春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的:
茅草是齿形的;
茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具;
它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗?
二.数学活动
我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质: 猜想不等式的性质:
(1) a=b(a+c=b+c; (1) a>b(a+c>b+c;
(2) a=b( ac=bc; (2) a>b( ac>bc;
(3) a=b(a2=b2;等等。 (3) a>b(a2>b2;等等。
问:这样猜想出的结论是否一定正确?
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质 球的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
⑶ 检验猜想。即
例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
巩固提高
1.已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.
直角三角形 ?3个面两两垂直的四面体 ∠C=90°
3个边的长度a,b,c
2条直角边a,b和1条斜边c ?∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°
4个面的面积S1,S2,S3和S
3个“直角面” S1,S2,S3和1个“斜面” S
3.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列,且,公和为5,那么的值为______________,这个数列的前n项和的计算公式为________________
课堂小结
1.类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。
类比推理的一般步骤:
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)
猜想新结论
联想、类推
观察、比较
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