宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 间接证明 反证法教案 新人教版选修2-2.doc

宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 间接证明 反证法教案 新人教版选修2-2 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点 3. 教学难点：反证法的思考过程、特点 4．教具准备：与教材内容相关的资料。 5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。 ????反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 (2)、例子 例1、求证：不是有理数 例2、已知，求证：（且） 例3、设，求证 证明：假设，则有，从而 因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不 等式成立。 例4、设二次函数，求证：中至少有一个不小于. 证明：假设都小于，则 （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。 注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。 议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 例5、设0 a, b, c 1，求证：(1 ( a)b, (1 ( b)c, (1 ( c)a,不可能同时大于 证：设(1 ( a)b , (1 ( b)c , (1 ( c)a , 则三式相乘：ab (1 ( a) b?(1 ( b)c?(1 ( c)a ① 又∵0 a, b, c 1 ∴ 同理：, 以上三式相乘： (1 ( a)a?(1 ( b)b?(1 ( c)c≤ 与①矛盾 ∴原式成立 例6、已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证：设a 0, ∵abc 0, ∴bc 0 又由a + b + c 0, 则b + c = (a 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 与题设矛盾 又：若a = 0，则与abc 0矛盾， ∴必有a 0 同理可证：b 0, c 0 巩固练习：第83页练习3、4、5、6 课后作业：第84页 4、5、6 教学反思： 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。???? 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。