宁夏银川贺兰县第四中学2014年高中数学 1.3.1 函数的单调性课件 新人教版必修1.ppt

例3.求证：2n＞2n＋1（n为自然数，且n≥3）。 解：构造函数f(x)=2x－2x; 对任意的x≥3；∵f(x+1)－f(x)= 2x+1－2(x+1)－2x+2x=2x－2, 而x≥3，∴f(x+1)－f(x)＞0， 可知f(x)（x≥3）是递增函数，∵f(3)=23－2×3=2＞1， 故有2n＞2n＋1. * 例4：求函数 的值域； 解：易知函数是单调递增函数，又因为函数的定义域是x∈( -∞,5]； 所以当x=5时，y最大=10， 故函数的值域为( -∞,10]； * 题型五：复合函数单调区间的求法 例1：设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2－x)的单调区间。 上是单调递减的。 ， 由复合函数单调性可知 则由已知得 解：令 , 2 ) ( - = x x t ） ， （－ ） ， （ 而 0 4 6 2 2 ) ( \ - = x x x t ∈ ∈ 是单减的， 上 在 又 ) 0 , 4 ( 2 ) ( - - = x x x t ∈ ） ， （－ 在 0 4 )] ( [ ) 2 ( = - x x t f x f ∈ ）上是增函数， ， （ 在 6 2 ) ( t t f ∈ * 如何判断函数 证明： * * 如何应用函数 * 解： * 己知a,b,c∈R,且a0,6a+b0.设f(x)=ax2+bx+c,试比较f(3)、与f(π)的大小. 即抛物线顶点横坐标3，又开口向下，所以二次函数f（x）在 上递增. 解：由 * 函数的单调性 * 复习 对于给定区间D上的函数f(x)，若对于D上的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)()f(x2),则称f(x)是D上的增（减）函数，区间D称为f(x)的增（减）区间。 1、函数单调性的定义是什么？ 若 ＞0，则说明 什 么？ * 2、证明函数单调性的步骤是什么？ 第一步：取值 第二步：作差变形 第三步：定号 第四步：判断下结论 * 题型一：用定义证明函数的单调性 例1、判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？ * 讨论函数f(x) = 在(－1,1)上的单调性. 例2 解：设 * 此时f（x）为减函数. 当a0时， f(x1)f(x2)，此时f(x)为增函数. * 题型二：图象法 例3：指出下列函数的单调区间： ( ) 1 1 2 - = x y * 例4：指出下列函数的单调区间： ( ) 3 2 2 2 + + - = x x y * 题型三：利用已知函数单调性判断 例3：判断函数 在(1,+∞)上的单调性。 结论1：y＝f(x)(f(x) 恒不为0），与 的单调性相反。 y＝ f(x) 1 * 为正数且增函数， 递减，故原函数 ） ＋ （ - \ 4 2 4 2 x 时， 而当 - + = 4 ) 2 ( 1 2 x u x （ 解： - + + = , 4 ) 2 4 1 2 x y ）上为减函数。 在 + , 1 ( ∞ * 例4：设f(x)在定义域A上是减函数，试判断y ＝3－2f(x)在A上的单调性，并说明理由。 结论2：y＝f(x)与y＝kf(x) 当k0时，单调性相同；当k0时，单调性相反。 结论3：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则f(x)+g(x)也是增函数。 结论4：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减函数，则f(x) －g(x)也是增函数 * 结论6：复合函数f[g(x)]由f(x)和g(x)的单调性共同决定。它们之间有如下关系： f(x) g(x) f[g(x)] 结论5：若f(x)(其中f(x)0)在某个区间上为增函数，则 也是增函数 * 练习：求函数 的单调区间。 答案： (－∞, －3]单减区间 [2,+∞)单增区间 注意：求单调区间时，一定要先看定义域。 * 题型四：函数单调性解题应用 例1：已知函数y=x2－2ax＋a2－1在 (－∞,1)上是减函数，求a的取值范围。 * 解此类由二次函数单调性求参数范围的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的问题形象化。 练习：如果f(x)=x2－(a-1)x+5在区间（0.5，1）上是增函数，那么f(2)的取值范围是什么？ [7,＋∞） * 例2：已知x∈[0,1