3.3垂径定理.ppt

* 3.3 垂径定理 复习回顾 1 、圆心角定理及推论 2、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB， 的度数为40°，求∠AOC的度数． CE · A B C D O E 问题：左图中AB为圆O的直径，CD为圆O的弦。相交于点E，当弦CD在圆上运动的过程中有没有特殊情况？ 直径AB和弦CD互相垂直 ③AM=BM, AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. ●O 小明发现图中有: A B C D M└ ①CD是直径 ②CD⊥AB 可推得 【问题】 连接OA,OB,则OA=OB. ●O A B C D └ 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, 理 由： M 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且 平分弦所对的两条弧。 总结 1、文字语言 2、符号语言 3、图形语言 1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。 是 不是 是 ③CD⊥AB, 垂径定理的推论 ●O C D 由 ① CD是直径 ② AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ● M A B 平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD，交AB于点M. （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. ┗ 在⊙O中，直径CD平分弦AB ∴ CD⊥AB 推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的弧 ， 例1 、如图，已知在⊙O中，弦 AB的长为8厘米，圆心O到AB的 距离为3厘米，求⊙O的半径。 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。 . A E B O 解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 例题2 、 已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于C，D两 点。求证：AC＝BD。 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD E . A C D B O 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， ┐ 例3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ,点O是 所在圆的圆心),其中CD=600m,E是 上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径. └ 解:连接OC. 1、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精确到0.1米）。 随堂练习 解得R≈27.9. O D A B C R 随堂练习：1、解决求赵州桥拱半径的问题： 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 即 R2=18.72+（R－7.2）2 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m. OA2=AD2+OD2 AB=37.4 m，CD=7.2 m， OD=OC－CD=R－7.2 在图中 如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R． 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高． （m）, 2、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ O C D B A O C D B A O C D B A F E 有三种情况：1、圆心在平行弦外； 2、圆心在其中一条弦上； 3、圆心在平行弦内。 随堂练习 2、已知：⊙O中弦AB∥CD。 求证：AC＝BD ⌒ ⌒ ∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ . M C D A B O N 证明：作直径MN⊥AB。 3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形． · O A B C D E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又　∵AC=AB， ∴ AE=AD. ∴ 四边形ADOE为正方形. 1.判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.