中考第一轮复习——图形的相似与锐角三角函数.doc

年 级 初三 学 科 数学 版 本 华东师大版 内容标题 中考第一轮复习⑹　图形的相似与锐角三角函数 编稿老师 史继生 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 中考第一轮复习⑹　图形的相似与锐角三角函数 二. 重点、难点扫描： 1. 比例；线段的比；成比例线段；黄金分割； 2. 图形的相似；相似三角形；相似三角形的性质；两三角形相似的条件； 3. 画相似图形；利用位似将一个图形放大或缩小； 4. 锐角三角函数；运用相似和锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。 三. 知识梳理： ㈠图形的相似 1. 比例线段 由于比例线段的实质就是四个正数组成的比例式，所以要学好本部分内容，首先要熟悉有关比例的相关知识。 2. 相似多边形的特征 “对应边成比例，对应角相等”既是相似多边形的识别方法又是性质。 3. 相似比 相似比是把一个图形放大或缩小的倍数，其具有顺序性，全等是相似比为1 时的特殊情况。 4. 相似三角形的性质 （1）对应边成比例，对应角相等； （2）对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； （3）周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 5. 相似图形的画法 是新课标中新增添的内容，要求掌握用多种方法将一个图形放大或缩小。 6. 图形与坐标 是新课程中新增添的内容，应注意把“形”与“数”紧密地联系在一起。 ㈡锐角三角函数与解直角三角形 1. 锐角三角函数的概念 锐角三角函数的概念应通过画图帮助分析，通过画图找出直角三角形中边、角的关系，加深对概念的理解。锐角三角函数常和三角形、四边形、相似形、圆、坐标系、一元二次方程结合命题。 2. 特殊角的三角函数值 对于特殊角的三角函数值，必须熟练准确地记住，记忆时可借助三角板上的直角三角形。 3. 解直角三角形的应用题 对于解直角三角形的应用题，首先要认真反复读题，弄清题意，特别是关键的字、词，其次要准确地画出图形。从图中确定要解的直角三角形，解直角三角形时，充分使用原始数据，正确选择关系式，使运算尽可能简便、准确类型， 故矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似 ②当时，是矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似， 所以，解得＝ 例3. 如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮。 ⑴请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）； ⑵已知：MN＝20m，MD＝8m，PN＝24m。求⑴中的点C到胜利街口的距离CM。 分析：由三点共线可知点C在直线PD上；再根据已知条件可得两三角形相似，建立比例式求得CM。 解：①如图，连结PD并延长交AB于点C，点C即为小亮恰好能看见小明的位置； ②由已知条件得：△CMD∽△PND， 所以有：，即， 解得：CM＝16m。 例4. 如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上。 ⑴填空：∠ABC＝______，BC＝_______。 ⑵判定△ABC与△DEF是否相似？ 分析：注意从图中提取有效信息，通过观察图形并充分利用正方形方格的特征和勾股定理计算有关线段的长即可解本题。 解答：⑴∠ABC＝135°，BC＝； ⑵能判断△ABC与△DEF相似； 理由：因为∠ABC＝∠DEF＝135°， 又因为由AB＝2，BC＝，DE＝，EF＝2，可得：， 所以，根据两边对应成比例，且夹角相等，可得△ABC∽△DEF。 例5. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC。 分析：结合相似三角形的判定方法补充条件。 解：∠1＝∠B或∠2＝∠C，或 例6. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D、E在直线BC上运动，设BD＝x，CE＝y。 ⑴如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，试确定y与x之间的函数关系式； ⑵如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，⑴中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由。 分析：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系。 解：⑴在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝30°，∠ABC＝∠ACB＝75°，∠ABD＝∠ACE＝105°。 又∠DAE＝105°，∴∠DAB＋∠CAE＝75°。 又∠DAB＋∠ADB＝∠ABC＝75°， ∴∠CAE＝∠ADB，∴△ADB∽△EAC， ∴，∴y＝。 ⑵当α、β满足β－＝90°时，y＝仍成立。 理由：此时∠DAB＋∠CAE＝β－α，