安徽省蚌埠二中2014年高中数学 函数的单调性与最大（小）值课件 新人教A版必修1.ppt

函数的单调性与最值 * . 知识要点: 一.函数的单调性： 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ： 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数. x y o x1 x2 f(x1) f(x2) * 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数. x y o x1 x2 f(x1) f(x2) 单调区间的定义: 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间上具有单调性，区间D叫做f（x）的单调区间. * 例：设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量， 有以下几个命题： ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0； ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0； ③ ④ 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________. ①③ * 注:（1）函数单调性的等价定义：如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2 称f(x)在这个区间上是增函数 （2）：函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间而言的.是函数的局部性质。 有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数y=x2，当x∈[0，+∞]时是增函数，当x∈(-∞，0)时是减函数。 * 典型例题： 一：函数单调性的证明： 函数单调性证明的一般步骤（定义法） 1：取值.即设x1 , x2是该区间内的任意两个值，且x1 , x2； 2：变形.常用作差法，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； 3：定号.确定 的符号，当符号不确定时， 分区间进行讨论； 4：下结论.根据符号作出结论。 * 结论： x y 0 * 结论应用： 1:求函数 的最大值 的最大值 的最小值 换元法：令低次项为t * 结论应用： 2:若不等式 恒成立， 则 的最小值是______。 要注意函数思想在求函数值域中的运用 应用1：用函数单调性求函数的最小值; 应用2：使用分离参数法，用函数的最值解决恒成立问题. 探究提高: * 解: 设任意的x1，x2且-1x1x21, ∵-1x1x21, ∴|x1|1,|x2|1,x2-x10, 即-1x1x21,∴x1x2+10. 变式：试讨论函数 x∈(-1,1)的单调性(其中a≠0). 因此，当a0时， f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 此时函数f(x)为减函数； 当a0时， f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 此时函数f(x)为增函数. * 二：函数单调性的应用： 例：已知函数 在 上单调递减，则 与 的大小关系是______________。 变式1：已知函数 在定义域 上单调递减，且 则 的取值范围是______。 函数f(x)在某一区间上具有单调性，若函数是增函数,则f(x1)f(x2) x1x2； 探究提高: * 变式2：已知函数 在R上单调递增，其图像过 则不等式 解集为______。 函数不等式的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号“f”，化为一般不等式求解，但必须在定义域内(或给定的范围内)进行. 探究提高 x y 0 A B 3 * 三：已知函数单调性求参数范围： 例1：已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是______。 解析：由题意： * 2. 已知函数 在定义域内为单调减函数 ，则 的取值范围是______。 * 3：已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是______。 * 例：函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 当x0时，f(x)1. （1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等