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第一章 线性规划 1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分-------数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。 自从1947年美国学者丹西格1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为机器10小时、机器8小时和机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产台甲机床和乙机床时总利润最大，则应满足 （目标函数） (1) s.t.（约束条件） （2） 这里变量称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。上述即为一规划问题数学模型的三个要素(决策变量/ 目标函数/约束条件)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 线性规划的Matlab标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab中规定线性规划的标准形式为 其中和为维列向量，为维列向量，为矩阵。 例如线性规划 的Matlab标准型为 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 (3) (4) 可行解 满足约束条件（4）的解，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。 可行域 所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为。 1.4 线性规划的图解法 图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。我们先应用图解法来求解例1。如上图所示，阴影区域即为LP问题的可行域R。对于每一固定的值，使目标函数值等于的点构成的直线称为目标函数等位线（图中的虚线是当z=12时），当变动时，我们得到一族平行直线。让等位线沿目标函数值减小的方向移动，直到等位线与可行域有交点的最后位置，此时的交点（一个或多个）即为LP的最优解。 对于例1，显然等位线越趋于右上方，其上的点具有越大的目标函数值。不难看出，本例的最优解为，最优目标值。 从上面的图解过程可以看出并不难证明以下断言： （1）可行域可能会出现多种情况。可能是空集也可能是非空集合，当非空时，它必定是若干个半平面(一条直线分平面为两个半平面)的交集（除非遇到空间维数的退化）。既可能是有界区域，也可能是无界区域。 （2）在非空时，线性规划既可以存在有限最优解，也可以不存在有限最优解（其目标函数值无界）。 （3）R非空且LP有有限最优解时，最优解可以唯一或有无穷多个。 （4）若线性规划存在有限最优解，则必可找到具有最优目标函数值的可行域的“顶点”。 上述论断可以推广到一般的线性规划问题，区别只在于空间的维数。 在一般的维空间中，满足一线性等式的点集被称为一个超平面，而满足一线性不等式（或）的点集被称为一个半空间（其中为一维行向量，为一实数）。有限个半空间的交集被称为多胞形，有界的多胞形又被称为多面体。易见，线性规划的可行域必为多胞形（为统一起见，空集也被视为多胞形）。 在一般维空间中，要直接得出多胞形“顶点”概念还有一些困难。二维空间中的顶点可以看成为边界直线的交点，但这一几何概念的推广在一般维空间中的几何意义并不十分直观。为此，我们将采用另一途径来定义它。 定义1 称维空间中的区域为一凸集，若及，有。（定义1 说明凸集中任意两点的连线必在此凸集中；） 定义2 设为维空间中的一个凸集，中的点被称为的一个极点，若不存在及，使得。（而定义2 说明，若是凸集的一个极点，则不能位于中任意两点的连线上。） 不难证明，多胞形必为凸集。同样也不难证明，二维空间中可行域的顶点均为的极点（也没有其它的极点）。 1.5 求解线性规划的Matlab解法 单纯形法是求解线性规划问题的最常用、最有效的算法之一。单纯形法是首先由George Dantzig(美国学者丹西格Matlab解法。 Matlab5.3中线性规划的标准型为 基本