22量子力学根基习题思考题.doc

习题22 22-1．计算下列物体具有动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。 解：（1）具有动能的电子，可以试算一下它的速度： ，所以要考虑相对论效应。 设电子的静能量为，总能量可写为：，用相对论公式： ，可得： ； （2）对于具有动能的质子，可以试算一下它的速度： ，所以不需要考虑相对论效应。 利用德布罗意波的计算公式即可得出： 。 22-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式： ； （2）用相对论公式：设电子的静能为，动能为：， 由，有：。 22-3．求出实物粒子德布罗意波长与粒子动能EK和静止质量m0的关系，并得出： EK m0c2时， ； EK m0c2时， ． 解：由 解出： , 根据德布罗意波： 把上面m，v代入得： , 当 时，上式分母中，，可略去． 得  当 时，上式分母中，，可略去． 得 22-4．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距，中子的动能，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角。 解：衍射是波的特征，中子束通过晶体发生衍射，可见中子束具有波动属性，由布拉格公式，一级极大时取，有：， 波长可利用德布罗意波的计算公式得出： ， ∴，。 22-5．以速度运动的电子射入场强为的匀强电场中加速，为使电子波长，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解：利用能量守恒，有：，考虑到， 有： ， 利用匀强电场公式有：。 22-6．用电子显微镜来分辨大小为1的物体，试估算所需要电子动能的最小值。（以为单位）解：分辨大小为1的物体，1， 由，有电子的动量为：； 试算一下它的速度：， 所以，有电子动能的最小值。 22-7．设电子的位置不确定度为，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为，计算电子能量的不确定度。 解：由不确定关系：，有， 由，可推出：。 22-8．的谱线宽度为，计算原子处在被激发态上的平均寿命。 解：能量，由于激发能级有一定的宽度，造成谱线也有一定宽度，两者之间的关系为：，由不确定关系，，平均寿命，则： 。 22-9．若红宝石发出中心波长的短脉冲信号，时距为，计算该信号的波长宽度。 解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：， 由不确定关系：，有： ∴。 22-10．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为，式中为粒子角动量的不确定度，为粒子角位置的不确定度。 证明：当粒子做圆周运动时，设半径为，角动量为：， 则其不确定度，而做圆周运动时：， 利用：代入，可得到：。 22-11．计算一维无限深势阱中基态粒子处在到区间的几率。设粒子的势能分布函数为： 解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在之间运动时，其定态归一化的波函数为：， 概率密度为： 粒子处在到区间的几率：， 如果是基态，，则。 22-12．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽。 （1）质子的零点能量有多大？ （2）由态跃迁到态时，质子放出多大能量的光子？ 解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式： 时为零点能量： （2）由态跃迁到态时，质子放出光子的能量为： 22-13．对应于氢原子中电子轨道运动，试计算时氢原子可能具有的轨道角动量。 解：当，的可能取值为：0，1，2。 而轨道角动量，所以的取值为：0，，。 22-14．氢原子处于的激发态时，原子的轨道角动量在空间有哪些可能取向？并计算各种可能取向的角动量与轴的夹角？ 解：（1），所以轨道角动量：， （2）的本征值可取：，由磁量子数取值范围：知，有三个取向。夹角分别为： ；；。 22-15．氢原子处于2p态，当它在外磁场中，考虑到轨道磁矩与外磁场的相互作用，讨论该状态的能级分裂情况，并计算跃迁发出光子的频率。 答案：2p能级分裂为三个能级； 解：氢原子处在外磁场中，由于空间量子化，电子轨道角动量相对外磁场方向有各种可能的取向，电子轨道磁矩也有相应的不同取向，导致氢原子与外磁场之间不同的相互作用势能，使氢原子电子轨道磁矩 电子磁矩与外磁场相互作用能 的可能取值有个，磁矩与外磁场相互作用能也出现个可能值。 对应于氢原子2p态与外磁场的相互作用能有三个不同值，分别为；，，，。1s能级不变化，2p能级分裂为三个能级，相邻之间能级的能量差为。 原先由2p跃迁至1s的一条谱线分裂成为三条谱线，如图所示。 其频率分别为： 原频率