山西省垣曲中学2015届高三数学上学期第一次月考试题 理 新人教A版.doc

垣曲中学2015届高三上学期第一次月考数学（理）试题 一、选择题 (本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.) 设集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为（4，2）对应的A中元素为 （ ） A．（4，2） B．（1，3） C．（6,2） D．（3,1） D． 12．已知a0,b0,a+b=1,则+的最大值为（ ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题(本大题共4小题，每小题分，共分,请将答案填在答题纸上) 三、解答题:本大题共小题，共7分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 已知f(x)＝x2－2ax＋2(aR)，当x[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围． 19. (本小题满分20分)已知函数. （1）若在区间单调递增，求的最小值； （2）若，对，使成立，求的范围. 20、 已知函数f(x)＝－x3＋x2－2x(a∈R) (1) 当a＝3时，求函数f(x)的单调区间； (2) 若对于任意x∈[1，＋∞)都有2(a－1)成立，求实数a的取值范围； (3) 若过点可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围． ；2 ； ； . ①②③④ 17解析：若命题p为真，则0＜a＜1． 若命题q为真，则(2a－3)2－4＞0，即． ∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q有且只有一个为真． （1）若p真q假，则，∴． （2）若p假q真，则，∴． 综上所述，a的取值范围是． 18已知f(x)＝x2－2ax＋2(aR)，当x[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解　法一　f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a. 当a(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立， 只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1； 当a[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－1≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]． 19.在恒成立 得： 而在单调递减，从而， ∴ ∴ ………………………………………………6分 （2）对，使∴ 在单调递增 ∴…………………………8分 又∴在单调递增，在单调递减 ∴在上，∴ 则…………………………………………………………12分 20、【解析】(1)当a＝3时，f(x)＝－x3＋x2－2x，得f′(x)＝－x2＋3x－2. 因为f′(x)＝－x2＋3x－2＝－(x－1)(x－2)， 所以当1x2时，f′(x)0，函数f(x)单调递增； 当x1或x2时，f′(x)0，函数f(x)单调递减． 故函数f(x)的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)． (2)方法一：由f(x)＝－x3＋x2－2x，得f′(x)＝－x2＋ax－2. 因为对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)2(a－1)成立， 即对于任意x∈[1，＋∞)都有－x2＋ax－22(a－1)成立，即对于任意x∈[1，＋∞)都有x2－ax＋2a0成立． 令h(x)＝x2－ax＋2a， 要使h(x)对任意x∈[1，＋∞)都有h(x)0成立，必须满足Δ0，或, 即a2－8a0或所以实数a的取值范围为(－1,8)． 令g(t)＝t3－at2＋，则函数y＝g(t)与t轴有三个不同的交点． 令g′(t)＝2t2－at＝0，解得t＝0或t＝. 因为g(0)＝，g＝－a3＋，所以g＝－a3＋0，即a2. 所以实数a的取值范围为(2，＋∞)．