10实验十三、十四主要命令课案.doc

实验十三 线性方程组 一 实验目的 学习利用Matlab命令求线性方程组的解, 以及解决有关问题. 预备知识：线性方程组的解 如果向量 使n个未知量的线性方程组成恒等式，即AK=C,则K就叫做AX=C的一个解（向量）。1)克莱姆法则当m=n时，且系数矩阵A= 的行列式 时，方程组有唯一的解式中解的矩阵形式：，2)解的判别法则 B=[A C]① r(A)=r(B)=n时，方程组有唯一解。(A为系数矩阵，B为增广矩阵)② r(A)=r(B)n时，方程组有无穷多组解（不定方程组）。③ r(A)r(B)时，方程组无解（矛盾方程组）。3) AX=0有非零解的充要条件是r(A)n,即系数矩阵不满秩，其行列式为0.4) 用行的初等变换将增广矩阵B化简，可以判别方程组的解；如果方程组有解，这方法可同时将方程组的所有解求出。5) 解的结构若AX=0，r(A)=rn,则全体向量构成 的一个子空间，它可以由n-r个线性无关的解向量生成(n-r个线性无关解向量、即基础解系)，叫做这个方程组的解空间。R=n时，解空间为零空间。若AX=C，r(A)=r,若有一个特解 ，设 是对应的AX=0的n-r个线性无关解向量、即基础解系，则 （ 为任意数量）给出AX=C 的全部解向量。 二 学习MATLAB命令 1. null(A) % 给出齐次方程组AX=0的一个基础解系. 2. A\b % 给出非齐次线性方程组 AX=b的一个特解. （1） 在A是可逆方阵时，A\b给出非齐次线性方程组AX=b的惟一解； （2） 在非齐次线性方程组 AX=b有无穷解时，A\b给出一个具有最多零元素的特解（A不一定是方阵）。但实际操作中有失败的情况。 （3） 在非齐次线性方程组 AX=b无解时，A\b给出最小二乘意义下的近似解（A不一定是方阵）。 3. rref % 化矩阵为行最简形 rref([A, b]） % 化增广矩阵为行最简形。 这个方法提供了解线性方程组的最可行和最常用方法。 4. solve % 解一般方程或方程组的命令(比如非线性的情况)。 前面学过： s= solve( x^2 + x*y + y = 3, x^2 - 4*y =- 3), [s.x, s.y] 求方程组 的解. 三 实验内容 1 求齐次线性方程组的解空间 给定线性齐次方程组AX=0 (这里，A为矩阵，X为维列向量)，该方程组必定有解. 如果矩阵A的秩等于, 则只有零解，如果矩阵A的秩小于则有非零解，且所有解构成一向量空间。MATLAB中，可利用命令null给出齐次方程组的解空间的一个正交规范基. 求解线性方程组 输入 clear; A=[1,1,-2,-1; 3,-2,-1,2; 0,5,7,3; 2,-3,-5,-1]; D=det(A)%系数矩阵行列式为0，表明有非零解 x=null(A) 输出 D = 0 x = 0.4714 -0.2357 0.4714 -0.7071 说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间, 方程组的所有解为k*x，k可 取任何数且向量是解空间的一个正交规范基 (又叫“标准正交基”，是指彼此正交且模都是1的一组基% 把A变成符号矩阵 x=null(A) % 这时null(A)输出A的一个基础解系，但不是正交规范基 输出 x = [ -2] [ 1] [ -2] [ 3] 上面的x的值带入方程组，则满足任何一个方程. 方程组的通解为k*x， k可以取任何值. 求解线性方程组 输入 clear; A=[1,1,2,-1; 3,-2,-3,2; 0,5,7,3; 2,-3,-5,-1];%每个方程的系数占一行 D=det(A) null(A) 输出 D=-40 ans = Empty matrix: 4-by-0 因此解空间的基是一个空集，说明该线性方程组只有零解. 向量组,,,是否线性相关? 根据定义, 如果向量组线性相关, 则齐次线性方程组 有非零解. 输入 clear; A=[1,1,2,3; 1,-1,1,1; 1,3,4,5; 3,1,5,7]; A=sym(A); D=det(A) B=transpose(A); %目的：将上式想象成一个方程组以后，每个方程的系数占一行 null(B) 输出 D = 0 ans = [ -2] [ -1] [ 0] [ 1] 说明向量组线性相关, 且. 2 非齐次线性方程组的特解 例4 求线性方程组