第四单元课后解答.pdfVIP

习题四 4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动； (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)． 题4-1 图 解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如 质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置 附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系 统的运动微分方程能用 d2 ξ 2 2 + ω ξ = 0 dt 描述时，其所作的运动就是谐振动． (1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位 置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都 不是线 性回复力． (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过 程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点， 即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为− mgsinθ ，如题4-1图(b)所 ∆S 示．题 中所述，∆S ＜＜R ，故θ = →0，所以回复力为− mgθ .式中负号，表示回复 R 力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性 ′ 的．若以小球为对象，则小球在以O 为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律， 在凹槽切线方向上有 2 d θ mR 2 = −mgθ dt 2 g 令ω = ，则有 R 2 d θ 2 + ω = 0 dt2 4-2 劲度系数为k 和k 的两根弹簧，与质量为m 的小球按题4-2图所示的两种方式连 1 2 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期． 题4-2 图 解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F = F = F ，设串联弹簧的等效 1 2 倔强系数为K 等效位移为x ，则有 串 F = −k x 串