13-1s课案.ppt

因此 在 上一致收敛. 注 当和函数容易求出时, 余项准则是比较好用的一种判别方法. 0.5 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 图 13 - 5 三、函数项级数的一致收敛判别法 定理13.5 (魏尔斯特拉斯判别法，或优级数判别法) 设函数项级数 为收 敛的正项级数， 证 , 存在某正整数N, 使得当 n N 西准则, 任给正数 及任何正整数 p, 有 根据函数项级数一致收敛的柯西准则, 级数 在 D 上一致收敛. 例7 函数项级数 当级数 上成立关 系式(13)时, 则称级数 在区间 上优于级 返回 后页 前页 §1 一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 一、函数列及其一致收敛性 设 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为 以 代入 (1), 可得数列 如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 收敛, 称 为函数列(1)的收敛点. 列(1)在点 发散. 当函数列(1)在数集 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 一点 都有数列 的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有 如果数列(2)发散, 则称函数 这时 D 上每 称为函数 或 函数列极限的 定义: 对每一固定的 , 任 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 给正数 和 , x)表示三者之间 的值都有关, 所以有时也用N( 的依赖关系), 使当 时, 总有 使函数列 收敛的全体收敛点集合, 的收敛域. 称为函数列 例1 上的 函数列, 证明它的收敛域是 , 且有极限函数 证 式所表示的函数. 又 显然是发散的. 所以 函数列 在区间 外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 这就证明了 在( , 1] 上收敛, 且极限就是(3) 例2 所以函数列 定义1 数集 上， 使当 时， 号大于 与 状区域之内. 图 13-1 从几何意义上 看, 就是存在某个预先给定 的 (1), 无论 N 多么大, 总存在某条曲线 只限于在区间 上, 则容易看到, 只要 不能全部落在由 夹成的带状区域内(图13-2). 若函数列 曲线 就全部落在 所夹成的带状区域内，所以 上是一致收敛的. 定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 在数集 上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 , 总存在正数N, 使当 对一切 , 都有 证 必要性 ， 任给 0, 存在正数N, 使得当 时, 对一切 都有 充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则, 在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 由定义1知, 定理13.2（余项准则） 上一致 收敛于 的充分必要条件是: , 当 , 存在不依赖于 任给的正数 的正整数 证 必要性 则对 由上确界的定义, 对所有 , 也有 这就得到了(6)式. 充分性 由假设, 对任给 0, 存在正整数N, 使得 有 注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么, 只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致 收敛, 而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用 较为方便. 如例2, 由于 故由 (7) 式得 例3 定义在[0,1]上的函数列 的图 像如图13-3 所示. 所以函数列 (8) 在 上不一致收敛. 例4 讨论函数列 的一致 收敛性. 解 易见 于是 容易验证 在 上只有惟一的极大值点 , 因此为最大值点. 于是 根据余项准则知该函数列在 上不一致收敛. 注 不一致收敛是因为函数列余 的增大一致趋于零 项的数值在 附近不能随 (见图13-4) 图13 – 4 因此对任何不含原点的区间 在该区间上一致收敛于零. 二、函数项级数及其一致收敛性 称为定义在E上的函数项级数, 为函数项级数(9)的部分和函数列. 收敛, 即部分和 当 时极限 存在, 则称级数(9)在点 收敛, 称为级数(9)的收 敛点. 若级数(11)发散, 则称级数(9)在点 发散. 若 级数(9)在 E 的某个子集 D 上每点都收敛, 则称级数 (9)在 D 上收敛. 若 D 为级数(9)全体收敛点的集合, 这时就称 D为级数(9)的收敛域. 级数(9)在 D上每一 点 x 与其所对应的数项级数(11)的和 构成一个 定