有限作业(力学防灾版).doc

广西大学土木建筑工程学院 硕士研究生课程作业（论文） 课 程 任课教师 专业、年级 研 究 生 成 绩 1.8 弹性薄板的微分方程式其中是分布荷载，D是弯曲刚度，试建立对应于周边固支（=，n是外边界的外法线方向）问题的自然变分原理。 板厚为h，x边a，y边b 应用虚功原理，虚位移 外力虚功内力虚功 则= 1、计算内力虚功，依薄板假定，只记，，所作虚功应变记 则内力虚功= 薄板中有 ， 设 代入，对于Z从到积分 则 同理可求另两式积分，整理有： = 内力用表示，即 = + + 2.计算外力虚功，由于板四边固支，故只有荷载做虚功， 板四周固结，故 所以化简成为： 代入： 变分 2-12一长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸p。板长12cm，宽4cm，厚1cm。材料。均匀拉力。试用有限元法求解板内应力，并和精确解比较。 解：如图坐标， 易知精确解，平面问题 利用对称性化简原问题，使用三节点三角形单元，如图： Y 统一单位：cm，N x 离散化 坐标 单元 节点 1（0，2） ① 1 2 4 2（0，0） 3（6，2） ② 4 3 1 4（6，0） 二、单元分析： 单元 单元 B①=[B1,B2,B3]= D①= K①= 由于编号合适，K①=K② K②= 三．总刚度 K=K①+K② =四、等效节点荷载及边界条件 　　易知： 五、解方积 解得 六、后处理： 对比应力相同 位移 相同 3.3利用构造变节点数单元插值函数的方法构造如图三次三角形单元插值函数，并和3.3.13和3.3.15比较 解：3.3.13~3.3.15 i=1，2，3 经比较，两者相同。 4.13讨论下列单元的减缩积分方案及精确积分方案（假定|J|为常数）所需的高斯的积分阶次。检查它们是否满足刚度矩阵K的非奇异的必要条件，实际计算应各自采用什么积分方案？单元是二维三次Serendipity单元，三维八节点线性单元，三维20节点二次单元20节点二次单元。 解：假定|J|为常数 二维三次Serendipity单元 12节点 三维八节点线性单元 8节点 三维20节点二次单元 20节点 由 二维三次Serendipity单元: 三维八节点线性单元 三维20节点二次单元 8.1用直接代入法和拉格朗日乘子法求的函数：在约束条件：下的极值问题。并检查采用拉格朗日乘子法的修正or是否仍保持极值性。 解： ｛ 直接代入法：由②得 ③ 代入①得 使z取驻值条件 解得 ④ ④代入③得 ⑤ 驻值 故为极小值。 拉格朗日乘子法： 修正 驻值条件： 即 解得： ，，， 另一修正函数 驻值 即 解得 ，， 判定二次型矩阵正定的方法： ： 不可能取极值 ： 不能取极值 9.4如果将假设剪切应变的方法用于3节点 Timoshenko梁单元，列出有关表达式，并论证它们和减缩积分方法的等价性。 解：对于3节点 Timoshenko梁单元，这时 采用假设剪切应变的情形，泛函可写为： 混合变分原理的泛函： 经有限元离散，并采用高斯积分，则上式可改写为： 式中M是单元数，m是积分点数（，是单元节点数），是单元长度，分别是高斯积分的权系数和积分点位置，因是次函数，是次函数，所以式中前3项的积分都是精确的。并因，所以代回上式，有： 将上式写成离散前的形式，则有 其中 这就说明了采用假设剪切应变，在理论上是和采用混合变分原理等价。 Timoshenko 理论的泛函： 泛函的数值积分形式是式当采用点减缩积分计算时的表达式。 9.9、通常用什么方法来避免Timoshenko梁单元发生剪切锁死？在理论上如何解释所采用方法的合理性？ 答：减缩积分，假设剪切应变。 减缩积分：项不能被精确积分，实际上是以该积