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偏微分方程(PartialDifferential
偏微分方程 (Partial Differential Equations)
§ 1 簡介
變數可分離偏微分方程 [Separable Partial Differential Equation]
── 線性方程式 [Linear Equation]
雙變數線性二階偏微分方程式 [P.D.E.]之一般型式為:
2 2 2
u u u u u
A 2 B C 2 D E Fu G …….….. (1)
x xy y x y
其中,A ,B ,C ,… ,G 均為 x ,y的函數。
**當 G = 0時, (1)式稱為齊次[Homogeneous] P.D.E. ;而當G 0時, (1)式稱為非
齊次[Non-homogeneous] P.D.E. 。
── 變數分離[Separation of Variables]
一般求解常係數 P.D.E.特解 [Particular Solution]的方法很多,其中最重要的是分
離變數法 [Method of Separation of Variable] 。此法,可將P.D.E化成一組 O.D.E. 。
以雙變數函數u (x , y ) 而言,可假設
u(x , y ) X (x)Y(y ) ………….. (2)
因此,各種偏微分變成:
u 2u
X Y
2
x x X Y
及 2 (3)
u X Y u X Y
y y 2
此處,”撇號 ”代表常微分運算。
2
u u
Ex.試求 D.E. : 2 4 的乘積解 [Product Solution] 。
x y
Sol 令u(x , y ) X (x )Y (y ) ,代入原 P.D.E.後,同除 4XY可得
X Y
…….…... (4)
4X Y
上式左邊與變數y 無關,右邊與變數x 亦無關,且兩邊欲相等。因此,可推論出,上
式兩邊應與 2 2
x及 y 均無關,而應該是等於一常數。一般取此常數為或 ,稱之為
分離常數 [Separation Constant ,為一實數] 。因此,可分成三種情況來討論:
1. 2
當 0時, (4)式應變成
X Y 2 …….…... (5)
4X Y
由此得出一組 O.D.E :
1
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