矩阵分解的原理及其应用.pdfVIP

科技信息 高校理科研究 矩阵分解的原理及其应用 苏州高等职业技术学校基础部 王文娟 ［摘 要］寻求矩阵各种意义下的分解方式，无疑对于矩阵有关的数值计算和理论分析都有着极为重要的意义.在广义逆矩阵等理论 中，经常遇到的矩阵的满秩分解和奇异值分解，它是近20年来求解各类最小二乘方问题和最优化问题的主要数学工具。 ［关键词］满秩分解 奇异值分解 由于在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及到矩 n×r ④令P=[P *]，即P=[ee … e]∈C 。 1 … 1 j j jm×r r 阵理论的知识。因此，矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少 r×n1 2 m×rr （3）令G=B得前r行∈C ，F=AP∈C 则A=FG。 的基础之一。另一方面，矩阵理论发展到今天，已经形成了一整套的理 n 1 r 论和方法，内容非常丰富。矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展 例题求 起了关键的作用。寻求矩阵各种意义下的分解形式，是对与矩阵有关的 1 2 3 0 A=0 2 1 -1的满秩矩阵。 数值计算和理论都有着极为重要的意义。因为这些分解式的特殊形式， × × 1 0 21 一是能明显的反映出原矩阵的某些特征；二是分解的方法与过程提供 解：①首先求出A的秩，显然，前两列互相独立，而第三行可由第一 了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。这些分解在数值代数和 行减去第二行得到，故r=2。 最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起 ②进行初等变换将A化为Hermite标准型。 着必不可少的作用。 1 2 3 0· 1 0 0 一、满秩分解和奇异值分解 [AI]=0 2 1 -1· 0 1 0(3)-(1)+(2)→ （一）矩阵的满秩分解 3 × × 1 0 2 1· 0 01 1.定义 1 2 3 0· 1 0 0 m×n m×r r×n 设A∈C (r0)，如果存在矩阵F∈C 和G∈C ，使得