向量的秩与线性方程组解的结构.pdf

第三节. 向量组的秩 2. 向量组的秩 定义2 ：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作 r (α ,α ,,α ) 1 2 s 2 4 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 −2 −1 例如： 向量组 α1 ⎜ ⎟,α2 ⎜ ⎟,α3 ⎜ ⎟ 的 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 5 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 4 −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 秩为2 。 关于向量组的秩的结论： （1）零向量组的秩为0 。 （2 ）设向量组 α ,α ,α 的秩为r， 1 2 m 则rm时，该向量组线性相关， r m时，该向量组线性无关。 * （3 ）如向量组 I1 ：α ,α , ,α 可由向量组 I2 ：β ,β , ,β 1 2 s 1 2 t 线性表示，则 r (I1) ≤r (I2) （4 ）等价的向量组必有相同的秩。 *注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向量组等价。 4. 行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。 定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 ⎛1 1 3 1 ⎞ ⎜ ⎟ 例如：矩阵 A ⎜⎜0 2 −1 4 ⎟⎟的行向量组是 0 0 0 5 ⎜⎝0 0 0 0 ⎟⎠α 1 ( 1 , 1 , 3 , 1 ) α 2 ( 0 , 2 , =− 1 , 4 ) α 3 ( 0 , 0 , 0 , 5 ) α 4 ( 0 , 0 , 0 , 0 ) 所以向量组 α ,α ,α ,α 的秩