对角占优矩阵奇异-非奇异的充分必要判据.pdf

金继东：对角 占优矩阵奇异一非奇异的充分必要判据 2 Taussky定理及其推论 文中若无特别说明，一律假定所讨论的矩阵A=n【】∈c ，其中c是复数域，I．1为复数的模 定义 2．1 (1)矩阵A=[aij]∈c ，如果满足 (2．1) 则称 是行对角 占优矩阵．i行取严格不等号，则 i行为严格对角 占优行；i行取等号，则 i行为非严 格对角 占优行．如果 A 的所有行都是严格对角 占优行，则称 为行严格对角 占优矩阵；如果 的所 有行都是非严格对角 占优行，则称 为行弱对角 占优矩阵． (2)矩阵A：[aij】∈c ，如果满足 ≥ 0 ∑ 一 ∑ = 0 一叼 则称 A是行平衡矩阵；实数域上的行平衡矩阵A=[a{】∈ n×”称为仿射矩阵． = 对列可以作类似的定义． l_ 如果矩阵 A： ∈cn×n不仅关于行是对角 占优 的而且关于列也是对角占优的，则称 为行 他 列双对角 占优矩阵；如果矩阵 =[oij]∈cn×n不仅关于行是平衡的而且关于列也是平衡的，则称 n 为行列双平衡矩阵． 定义 2．2 矩阵A=[ai]∈Cn×n给定，简单有向图F(A)：( ，A)称为矩阵 的伴随有向图， 其中V={仇li=1，… ，n)是F(A)结点的集合，={v，vj)∈V×Vlaij≠0)是 F(A)边的集合． 定义 2．3 矩阵 的伴随有向图r(A)=( ，M)是强连通的，则 A是不可约的；否则就是可 约的． 关于不可约对角占优矩阵有以下著名的Taussky定理 [15】】． 定理 2．1(Taussky) A=[aj]∈ ×n是不可约对角 占优矩阵．如果 存在严格对角 占优行，则 是非奇异的． 2 2 2．1 可约对角占优矩阵的 Frobenius标准型 是方阵，则存在置换矩阵P，使得 A11 0 0 pTAP ： (2．3) As+1 ． 1 As+ ． 1 分块矩阵 (2．3)称为 的Frobenius标准型[22-24]，其中对角块 App(P=l… ．，s+k)为不可约方阵 (I、(pp)是 r()的强分量 一极大强连通子图)，称为A的Frobenius块． 的Frobenius标准型 (2．3) 1166 中国科学：数学 第 44卷 第 11期 有 以下特点： JApq0，Vq≠P，P≤s， r。d、 IApq≠0， qP，P