2017版《3年高考2年模拟》高考理数(山西专用)：第7章+不等式、推理与证明+第4节+基本不等式及其应用.ppt

　基本不等式及其应用 ? 1.基本不等式 (1)基本不等式?≤?成立的条件:a0,b0. (2)等号成立的条件:当且仅当①???? ????时等号成立. (3)其中②?????????称为正数a,b的算术平均数,③?????????称为正数a,b的几何平均数. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥④???? ????(a,b∈R).当且仅当a=b时取等号. ?a=b? 2ab c c 教材研读 (2)ab≤?(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (3)?≥?(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (4)?+?≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x0,y0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤???? ???时,x+y有最⑥　 ????值,是 ⑦????2?????.(简记:积定和最小) x=y 小 c (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧???? ????时,xy有最⑨　 ????值,是? ? ????????.(简记:和定积最大) ? 1.下列不等式中正确的是?(　????) A.若a∈R,则a2+96a B.若a,b∈R,则?≥2 C.若a,b0,则2lg?≥lg a+lg b D.若x∈R,则x2+?1 x=y 大 c ?答案????C　对于C,∵a0,b0,∴?≥?. ∴2lg?≥2lg?=lg ab=lg a+lg b. 2.若x0,y0且x+y=?,则xy的最大值为?(　????) A.?　????B.2?　????C.?　????D.? ?答案????D　∵x0,y0,∴?=x+y≥2?,即?≤?, ∴xy≤??.∴(xy)max=?. c 3.已知x,y0且x+4y=1,则?+?的最小值为?(　????) A.8　????B.9　????C.10　????D.11 ?答案????B　∵x+4y=1(x,y0),∴?+?=?+?=5+?≥5+2? =5+4=9?当且仅当x=2y=?时,取等号?. 4.已知f(x)=x+?-2(x0),则f(x)有?(　????) A.最大值0　????B.最小值0　????C.最大值-4　????D.最小值-4 ?答案????C　∵x0,∴f(x)=-?-2≤-2-2=-4,当且仅当-x=?,即x=-1 时取等号.∴f(x)有最大值-4. c c 5.已知x?,则函数y=4x-2+?的最大值为　　　????. ?答案????1 ?解析　∵ x?,∴ 5-4x0, ∴ y=4x-2+?=-?+3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x=?,即x=1时,等号成立, 故当x=1时,ymax=1. c 利用基本不等式求最值 典例1????(1)已知a0,b0,且4a+b=1,求ab的最大值; (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值; (3)设0x?,求函数y=4x(3-2x)的最大值; (4)已知函数f(x)=4x+?(x0,a0)在x=3时取得最小值,求a的值. ?解析????(1)解法一:∵a0,b0,4a+b=1, ∴1=4a+b≥2?=4?, 当且仅当4a=b=?,即a=?,b=?时,等号成立. ∴?≤?,∴ab≤?.所以ab的最大值为?. 考点突破 c 解法二:∵4a+b=1, ∴ab=?·4a·b≤??=?, 当且仅当4a=b=?,即a=?,b=?(满足a0,b0)时,等号成立,所以ab的最大值为 ?. (2)由x+3y=5xy(x0,y0),得?+?=5, 则3x+4y=?(3x+4y)? =?? ≥?? =?×(13+12)=5. 当且仅当?=?,即x=2y时,“=”成立, 此时由?解得?(满足x0,y0). 故3x+4y的最小值为5. (3)y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2?=?,当且仅当2x=3-2x,即x=?时,等号 成立. 又∵?∈?, ∴函数y=4x(3-2x)?的最大值为?. (4)∵x0,a0,∴f(x)=4x+?≥2?=4?, 当且仅当4x=?时等号成立, 此时a=4x2,又已知x=3时函数取得最小值, 所以a=4×9=36. (1)利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求解.②对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等. 1-1　已知x0,y0,且2x+y=1,则?+?的最小值为　　　???