NA序列Stout型加权和的完全收敛性.pdf

应 用 数 学 MATHEMATICA APPLICATA 2015，28(2)：260—264 NA序列 Stout型加权和的完全收敛性 李炜 ，陈平炎。 (1．仲恺农业工程学院计算科学学院，广东广州 510225；2．暨南大学数学系，广东 广州510630) 摘要：本文把 StoutL8的一个关于独立同分布随机变量序列加权和的完全收敛性结果 推广到NA随机变量序列加权和情形，本质上改善 了原有结果的矩条件．本文的证明 方法和原有文献的证明方法类似，但本文深入挖掘原有结果权条件之间隐藏的蕴含 关系并加以有效的利用，从而达到改善矩条件的 目的． 关键词 ：NA序列 ；Stout型加权和；完全收敛性 中图分类号 ：02l1．4 AMS(2000)主题分类 ：60F05；60FI5 文献标识码 ：A 文章编号 ：1001—9847(2015)02—0260-05 1．引言及主要结果 完全收敛性的概念是 由Hus和 RobbinsE最先提 出并加 以研究的，从那时开始就已吸引 了众多学者的关注，至今已取得 了丰富的成果．如 Stout[在其定理 4．1．4(i)中获得 了如下独 立同分布随机变量序列加权和 (我们称之为 Stout型加权和)的完全收敛性结果 ： 定理 A 设 a0，p为一常数使得 (1+d+ )／口2，{x，X ，≥ l}是独立同分布的随机 变量序列满足EX===0及ElXJ o。．又设 {＆ ≥l，k≥1)为常数阵列满足对某 K 0 supI“ l≤Kn (1．1) 及 C 一∑ }n l。≤Knp～． (1．2) 若对任意 U 0 ∑exp(一u／C．)。。， (1．3) 则对任意e 0 P{l xe)o。． (1．4) r卜 l 、 = l 对于定理A，已有多名作者从各方面加以推广．如CHENG等 3推广到了NA序列加权 乘积和情)髟，CHENE推广到不 同分布的 NA序列情形 ，GAN等 推广到 了 NOD情形， * 收稿 日期 ：2014-03—08 基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目11271161) 作者简介 ：李炜，男 ．汉族 ，湖南人 ，副教授 ，研究方 向：概率极限理论 第 2期 李炜等 ：NA序列Stout型加权和的完全收敛性 261 QIUE推广到了NOD序列加权乘积和情形，等等． 仔细分析权条件 (1．2)与(1．3)221N的关系-,7Y2~，当 时，(1．2)N．X (1．3)，此时定 理 A的矩条件差不多是最优的，如取a∈ (1／2，1)，当1≤ k≤ 时令at一 一，当kn时令 a越一0，则此时 一 1一a( a)及 (1．4)式重新写为 ∑P{l∑ l朗)。。，Ve0， 众所周知上式等价于 EX一 0，EfX I 一Elx f 。 。。；由2T(1．3)式总可推出C，。一 O(n+cx。)，因此当 ≤ 时，(1．3)蕴含 (1．2)，我们 自然就会猜测此种NNT~EN A 的矩条件 应该与 无关．以上文献都没有关注到这一问题 ，本文 的目是在 NA序列情形下对定理 A加 以改进和推广 ，获得较优矩条件． 下面来介绍有关 NA随机变量序列的定义及定理 的证明所需要 的引理 ，主要结论及证明 放到第 2节． 称随机变量 {x ，1≤k≤ )是NA的，如果对于 (1，2，…，)的任何两个不交的非空子集 A 和A ，都有 Cov{f (X ，i∈A)，-厂2(Xj，J∈A：))≤0，其 中 和厂2是任何两个使得协方 差存在