2点三次Hermite插值多项式.ppt

1.问题的提法 分段三次Hermite插值多项式存在唯一 三.分段三次Hermite插值 2.分段三次Hermite插值的表达式 当 x∈[xi，xi+1]时, 两点Hermite插值 ( i= 0,1,2,···,n-1) 定理： 设 f(x)在[a,b]上具有四阶连续导数，S3(x)是其分段三次Hermite插值函数，则对任一给定的 , 有 * 第四节 Hermite 插值多项式 要求在节点上函数值相等，而且要求在节点上若干阶导数也相等。即,要求插值函数P(x)满足 在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅 把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite） 插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H (x)。 两点三次Hermit插值 已知： 构造一个次数?3的多项式H3(x) ，满足插值条件： （*） 两点三次Hermit插值（续1） 直接设 待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数 使之满足 5 两点三次Hermit插值（续2） 其中 都是次数为3的多项式 则H3(x)是一个次数?3的多项式且满足插值条件（*） 基函数求法： 求 3 同理 设 由β0(x0)=1 ，得 , 于是 同理有 定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值 多项式H3(x)存在且唯一。 三次Hermite插值多项式的余项 定理 设 f(x) 在包含x0, x1的区间 [a, b]内存在四阶导数，则对任意x?[a,b] ，总存在一个??(a, b)（?依赖于x）使 证明: 由插值条件知 R3(x0)=R3(x0)=0, R3(x1)=R3(x1)=0 构造辅助函数 利用 f(x) – H3(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2 取 x 异于 x0 和 x1, 设 反复应用Rolle定理, 得F(4)(t)至少有一个零点设为ξ∈(a, b) 显然,F(t)有三个零点x0, x, x1,由Rolle定理知, F(t) 至少有两个零点t0, t1满足x0t0t1x1,而x0和x1也是 F(t)零点, 故F(t) 至少有四个相异零点. 例 求一个次数为4的多项式P4(x)，使它满足P4(0)= P4(0)=0， P4(1)= P4(1)=1 ，P4 (2)=1 先构造满足P2(0)= 0， P2(1)=1 ，P2(2)=1的插值多项式P2 (x)，易得 设 其中A，B为待定系数. 利用两个导数条件确定系数A、B. 由 解得A=1/4, B=-3/4 故 第五节 分段低次多项式插值 从插值余项角度分析 为了提高插值精度，一般来说应该增加插值节点的个数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简单地这样认为，原因有三个： 一.高次插值的龙格 (Runge)现象 插值余项与节点的分布有关； 余项公式成立的前提条件是 有足够阶连续导数（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，这个条件一般很难成立； 随着节点个数的增加， 可能会增大。 随着节点个数增加到某个值，误差反而会增加。 增加插值多项式的次数 并不一定会有更好的插值结果， 这是因为高次多项式的振荡是很厉害的. 例：在[?5, 5]上考察 的 Ln(x)。取 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大， 端点附近抖动 越大，称为龙格 （Runge） 现象 Ln(x) ? f (x) ? n=2 n=5 n=10 分段低次插值 分段插值的概念 所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先将所考察的区间作一分划 并在每个 子区间上构造插值多项式，然后把它们装配在一起，作为整个区间 上的插值函数，即称为分段多项式。 定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0 x1x2…xn-1xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数 满足条件 (1) 在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是线性