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§4-1 动 量 矩 §4-2 动量矩定理 §4-3 刚体的定轴转动微分方程 §4-4 相对于质心的动量矩定理 第 4 章 动量矩定理 §4-5 刚体的平面运动微分方程 §4-6 动力学普遍定理的综合应用 仿照力矩，质点A的动量m v 对点O的矩, 定义为质点A对点O的动量矩, 即 一. 质点的动量矩 mO(mV) = h . mV 将动量矩表示成矢量： 由右手规则来确定 的指向。 (4-1) 矩是力学中常遇到的概念。 一矢量总可以对空间某一点取矩。 r h O A mv mo(mv) 在物理中,动量矩也称“角动量” 。 （r是质点A的位置矢径） 上式投影到各坐标轴可得动量 mv 对各坐标轴的矩： mx(mv) = m(yvz ? zvy) my(mv) = m(zvx ? xvz) mz(mv) = m(xvy ? yvx) (4-2) 一. 质点的动量矩 由右手规则来确定 的指向。 (4-1) r h O A mv mo(mv) LO = ∑mO(mv) =∑r ? mv (4-3) 质点系对各坐标轴的动量矩: Lx = ∑mx(mv) = ∑m(yvz ? zvy) Ly = ∑my(mv) = ∑m(zvx ? xvz) Lz = ∑mz(mv) = ∑m(xvy ? yvx) (4-4) 动量矩的常用单位是 N ? m ? s . 二. 质点系的动量矩 质点的动量矩： 质点系的动量矩： 设刚体以角速度? 绕固定轴 z 转动, 刚体内任一点 A 的转动半径是 rz 。 mz(mv) = m rz? rz = m rz2 ? 从而整个刚体对轴 z 的动量矩 Lz = ∑mz(mv) = ?∑m rz2 = Jz ? (4-5) 作定轴转动的刚体对转轴的动量矩,等于这刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积，即： 三.定轴转动刚体对转轴的动量矩 该点的速度大小是 v = rz ? , 方向垂直于转动半径 rz ,且指向转动前进的一方。 若用m 表示该质点的质量, 则其动量对转轴 z 的动量矩为 质点系的动量矩定理 质点的动量矩定理 四.动量矩定理 1. 如果∑mO(F(e)) ? 0，则 LO = 常矢量 2. 如果∑mz(F(e)) ? 0，则 Lz = 常量 五.动量矩守恒定理 在运动过程中，如作用于质点系的所有外力对某固定点(或固定轴)的主矩始终等于零,则质点系对该点(或该轴)的动量矩保持不变。 六.刚体定轴转动微分方程 设刚体在主动力 F1 , F2 , · · ·, Fn 作用下绕定轴 z 转动, 与此同时, 轴承上产生了约束反力 NA 和 NB 。 用 Mz =∑mz(F(e)) 表示作用在刚体上的外力对转轴 z 的主矩, 约束反力 NA 、NB 不出现。 刚体对转轴 z 的动量矩 Lz = Jzω。 根据动量矩定理, 可得 七.相对于质心的动量矩定理 式中LC 是质点系相对于质心C的动量矩。上式表示：质点系对于质心的动量矩对时间的变化率,等于作用于质点系的外力对质心的力矩之和。 对于质心以外的动点，动量矩定理一般不成立。将出现附加项。 关系式： 质点系对一固定点的动量矩LO , 等于其质心的动量对该点的矩rC×MVC , 与质点系相对于质心的动量矩LC之矢量和。 LC = ∑mC (m v) 相对于质心的动量矩定理: 对于质心以外的动点，动量矩定理一般不成立。 特例：如果矩心不是固定点,也不是质心,是任意动点O,其瞬时速度vO,加速度aO,质点系的绝对运动对动点O的动量矩为LO,外力对O点的主矩为MO,公式 在下列情况下成立： （1）动矩心O是速度瞬心，即vO＝0 ； （2）动矩心O的速度与质心速度平行，即vO∥vC ； （3）质心速度为零，即vC＝0 . LC = ∑mC (m v) 八.刚体的平面运动微分方程 在运动学中已经知道，刚体的平面运动可以分解为平动和转动两部分，顺此思路就可以解决刚体平面运动的动力学问题。 设在刚体上作用的外力可向质心所在平面简化为一平面力系 F1、F2 、· · ·、Fn .(主矢，主矩) y x o C F2 F1 Fi Fn ω 可用质心运动定理描述刚体随质心C的平动，用相对于质心的动量矩定理描述刚体绕质心C的转动。 将基点选在刚体质心C，则刚