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PINGDINGSHAN UNIVERSITY 毕业论文(设计) 题 目: 院(系): 专业年级: 姓 名: 学 号: 指导教师: 月 日 (空一行,小四) 矩阵的广义迹 (空一行,小四) XXX (数学与信息科学学院200级班) 指导教师 教授摘要: 本文了矩阵迹若干重要性质:可加性、齐次性、转置不变性、交换不变性等,并且证明了矩阵迹的唯一性利用分块矩阵,引入了矩阵的广义迹的概念, 它是方阵迹的自然推广,研究了这种广义迹的一系列重要性质关键词: Generalized traces of matrices WANG Xiu-ying (Class 1, Grade 2002, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor CAO Huai-xin (空一行,小四) Abstract: In this paper, a series of important properties of the usual trace of matrices are given, including: additivity, homogeneousness, transpose-invariance, commutative invariance, and the uniqueness of the usual trace is also proved. Next, by using block-decomposition of an matrix and the division algorithm, the concept of generalized trace of a matrix is introduced．Some important properties of this generalized trace are given. Key words: matrix，generalized trace，block-matrix，division algorithm (空一行,小四) 矩阵迹的概念是一个古老而基础的概念，它是阶矩阵的一个重要的数量特征．在普通高校的高等代数教科书中,只是给出了一个行列的矩阵算子迹(方阵对角线元素之和,为方阵对角线上的元素)的定义及其某些重要的性质，参见文献[1],文献[10,11,13]．文献[]得到了关于实矩阵迹不等式的个充要条件，并把所得结果推广到复矩阵情形．研究了Hilbert空间上的算子迹，给出了算子迹的一系列重要性质．对及任二正的迹类算子与成立．同时还证明了当时,对任一迹类算子,不等式也成立．文献[]将Jan R. Magnus关于矩阵迹的一个命题推广到Hilbert空间上算子迹的相应命题,由此得到一个证明算子迹的H?lder不等式的方法,同时得到关于算子迹的H?lder不等式的几个等价命题并最后给出了算子迹的Minkowski不等式的一个证明．文献[]中，了在C*-代数上的矩阵迹是一个正线性映射, , 给出了矩阵算子迹的一些基本性质并证明了如果是交换的C*-代数，则映射是上的矩阵迹当且仅当存在一个元素）使得, 其中．本文的目的是将矩阵算子迹的概念推广到矩阵上，广义算子迹的概念矩阵广义迹的重要性质． 1．预备知识 1.1 矩阵的迹及其性质 在本文中，假定为数域上全体矩阵之集（特别的为数域上全体阶矩阵之集）,则关于矩阵的运算, 为数域上向量空间，表示所有自然数之集，表示矩阵的转置矩阵． 定义1.1.1 ,则称的所有主对角线元素之和为的迹,记为，即． 矩阵迹有下列基本性质(其中为阶矩阵): 定理1.1.1 设, 则 ,其中为的特征值; ; ，; ; ; 若和为两个相似的方阵,则,即相似矩阵有相同的迹． 证明 (1) 设 , 则按照的特征方程是在 的展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积．展开式中其余各项,至多包含个主对角线上的元素,它对的次数最多是．因此特征多项式中含的次与次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现,它们是．在特征多项式中令,即得常数项:．因此,如果只写出特征多项式得前两项与常数项,就有 ． 由根与系数的关系可知,的全体特征值的和． (2) 设 ， 假定,则 ． (3) 设 ， 则有． (4)