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余 弦 定 理 用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？ ①两角和一边，②两边和其中一边的对角。 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 [复习回顾] 思考：如果在一个斜三角形中，已知两边及这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形，为什么？ 不能，在正弦定理 中，已知两边及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边都有两个未知量。 那么，怎么解这个三角形呢？ 同理，从 出发， 证得 从 出发，证得 证明： 学过向量之后，我们能用向量的方法给予证明余弦定理。 已知AB,AC和它们的夹角A，求CB 即 C B A [向量法] [解析法] C B A c a b ﹚ y x (bcosC,bsinC) (a,0) (0，0) 证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为： 同理： C B A c a b ﹚ y x (bcosC,bsinC) (a,0) (0，0) [解析法] A B C a b c D 当角C为锐角时 几何法 b A a c C B D 当角C为钝角时 C B A a b c 余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。 在锐角三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,求a 同理有： 同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个等式成立的，课后请同学们自己证明。 D [几何法] A B C c b a 用语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和, 再减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 余 弦 定 理 例1：若已知b=8,c=3,A= ,能求a吗？ 思考：余弦定理还有别的用途吗？若已知a,b,c,可以求什么？ 解： 余弦定理的变形： 例2、在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求A，B，C（精确到 ） 分析：已知三边，求三个角，可用余弦定理的变形来解决问题 解： 练一练： 1、已知△ABC的三边为 、2、1，求它的最大内角。 解：不妨设三角形的三边分别为a= ,b=2,c=1 则最大内角为∠A 由余弦定理 cosA= 12+22- ( ) 2 2×2×1 = - — 1 2 ∴ A=120° 变一变： 若已知三边的比是 :2:1,又怎么求？ 归纳： 利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。 解：由余弦定理得： 例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状 变式训练： 在△ABC中，若　　　　　　，则△ABC的形状 为（　） Ａ、钝角三角形　　　　　　Ｂ、直角三角形 Ｃ、锐角三角形　　　　　　Ｄ、不能确定 A C B A b a c 提炼：设a是最长的边，则 △ABC是钝角三角形 △ABC是锐角三角形 △ABC是直角三角形 推论： 判断三角形的形状 练习：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ） A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6 分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项 中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。 B中： ，所以C是钝角 D中： ，所以C是锐角， 因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形 A、C显然不满足 B 练习：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC= ,求最大角的余弦值 分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。 解： 则有：b是最大边，那么B 是最大角 （1）余弦定理适用于任何三角形 （3）由余弦定理可知： （2）余弦定理的作用： a、已知三边，求三个角 b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角 c、判断三角形的形状 [小结]