4.4有理函数和可化为有理函数的积分.ppt

基本积分法: 直接积分法; 换元积分法; 分部积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.4.1 有理函数的积分 4.4.2 可化为有理函数的积分 4.4 有理函数和可化为有理函数的积分 4.4.1 有理函数的积分 有理函数: 时, 为假分式; 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 有理函数的分解 例1 将下列真分式分解为部分分式: 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 确定部分分式系数的方法: 通分,去分母得 比较系数得 从而 故 原式 拼凑法、待定系数法、赋值法 解 设 通分,去分母得: 即 比较恒等式两边得系数, 得方程组, 整理得 解 设原式 四种典型部分分式的积分: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 变分子为 再分项积分 例2 求 解 已知 例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 2. 有理函数的积分 例3 求 解 原式 思考 如何求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 求 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便, 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 例5 求 解 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常规 目录 上页 下页 返回 结束 例6 求 解 原式 按常规方法较繁 按常规方法解: 第一步 令 比较系数定 a , b , c , d , 得 第二步 化为部分分式, 即令 比较系数定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 . 此解法较繁! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.4.2 可化为有理函数的积分 设 表示三角函数有理式, 令 万能代换 t 的有理函数的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 三角函数有理式的积分 则 例7 求 解 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 另法： 见书上 例8 求 解 说明 通常求含 的积分时, 往往更方便. 的有理式 用代换 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9 求 解 因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注 若被积函数关于 sinx 为奇函数,可令 例10 求不定积分 解 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.简单无理函数的积分 令 令 被积函数为简单根式的有理式 ,可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 例11 求 解 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12 求 解 为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3 的 最小公倍数6 , 则有 原式 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例13 求 解 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法, 简便计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便, 如何求下列积分更简便? 解 1. 2.原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 备用题1. 求不定积分 解 令 则 ,故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高, 宜使用倒代换. 2. 求不定积分 解 原式 = 前式令 ; 后式配元 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.求 解 令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 运行时, 点击按钮“例1(3)”, 可显示被积函数化为部分分式的过程. * 运行时, 点击“本题按常规方法解很繁”, 或按钮 “常规”, 将显示常规方法接替步骤, 并自动返回. * 运行时, 点击按钮“例1(3)”, 可显示被积函数化为部分分式的过程. * 运行时, 点击“本题按常规方法解很繁”, 或按钮 “常规”, 将显示常规方法接