1415 B题论文.pdf

空中加油问题的讨论 一． 问题重述 空中加油技术可以大大提高飞机的直航能力。作战飞机称为主机，加油机 为辅机。已知：（1）主机和辅机载油量、速度、单位时间的耗油量完全一样，且 为常数；（2 ）飞机载油量可供飞行 L 公里；（3 ）辅机可以给主机或其他辅机加 油；（4 ）执行完任务后，所有飞机必须返回基地；（5 ）飞机的起飞、降落、转向、 加油的耗时和主机执行任务的时间忽略不计。 A 空军基地有一架主机和 n 架辅机，主机最大作战半径指主机在辅机加油协 助下能飞到 （并安全返回）离基地 A 的最远距离。有如下问题： 问题 1：每架飞机只能上天一次，求 n=1,2,3,4 时的最大作战半径r 。 n 问题 2 ：n4 时求r 或给出r 的上下界；讨论n 时r 的渐进关系；给出 n n n 判断最优作战方案 （主机能飞到r 处）的必要条件或充分条件。 n 问题3 ：每架辅机可以多次上天，辅机从在机场降落到再次上天的时间间隔 至少为相当于飞行 L/12 的时间，求最大作战半径R . n 问题 4 ：另有两个待建的空军基地A ，A ，主机必须从基地 A 起飞，在基 1 2 地 A 降落，辅机可以在任一基地待命和降落，可以多次起飞，在问题 3 的假设 条件下讨论A ，A 的选址和主机最大作战半径R 。 1 2 n 问题 5：ABCD 为矩形，AB=4L ，AD=2L 。A ，B ，D 为空军基地，主机从 A 起飞，到 C 执行任务，再返回 A 。在问题 3 的假设条件下按最快到达并返回 和最少辅机架数两种情况给出作战方案。 二． 模型假设 1、 辅机只有一个载油箱，容积为飞行距离 L 公里所需的油。载油箱的 油可以用于自己飞行也可以给其他飞机加油。 2 、 不考虑加油的安全因素，即对整个空域来说，辅机都是安全的。 3、 辅机可以同时给任意架飞机同时加油，加油耗时忽略不计。 三． 问题分析 空中加油问题是个在一系列约束下求最优的问题。目标是使作战半径最大， 变元是作战方案，约束包括油料、地点和时间三个因素。制约主战半径的核心因 素是油料，主机飞行所需油料除了起飞时自身载油外，只能靠辅机空中加油。空 中加油最基本的约束是加油机和受油机必须出现在同一地点，这就使空中加油问 题受时间、地点因素的制约。 在问题 1，2 的假设条件下，由于飞机只能上天一次，上天时间任意，故根 据加油的地点即可判断出飞机的起飞时间，因此时间和地点因素可以统一为地点 因素。在一些基本定理条件下，给定加油关系，可以根据油料约束计算加油地点， 第 1 页 共 19 页 进而计算作战半径。问题3，4 ，5 中，辅机可以多次上天，在机场降落和再次上 天的时间间隔因素不能和地点因素统一，必须另外考虑，因此问题变得十分复杂。 我们在问题 1，2 结论的基础上给出一些松弛条件，使问题简化，有哪些信誉好的足球投注网站空间变成 加油方案的子集，寻找接近最优的加油方案。 为了方便说明，我们先给出作战方案的二叉树模型。 我们将作战方案建模成如图 1 所示的二叉树结构。横坐标 t 轴代表飞行时间， v 纵坐标 x 轴代表飞离基地的距离。假设飞机的飞行速度为 ，将纵坐标的单位取 为 L，横坐标的单位取为 L/v ，则二叉树的所有线段斜率绝对值相同，且都为 1， 则飞机的飞行路径在坐标系中表现为等腰三角形。二叉树的叶子结点纵坐标都为