概率论与数理统计02 随机变量及概率分布.pdf

第二章 随机变量及概率分布 为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学 工具描述其规律, 有必要引入随机变量来描述随 机试验的不同结果. 例 检测一件产品可能出现的两个结果,也可以用 一个离散变量来描述 1, 次品 X ()  0 , 正品  例 电脑寿命可用一个连续变量T来描述. T :T  0 （一）随机变量及其分布函数 1、随机变量 ( random variable ) 定义 设是试验E 的样本空间, 若   按一定法则  实数X () 则称 X ( ) 为 上的 随机变量，简记r.v. X . r.v.一般用大写字母 X , Y , Z ,  或小写希腊字母 , ,  表示. 定义 设E是随机试验。它的样本空间是={}，如果对 每一个, 有一个实X()与之对应，这样就得到一个定 义在上的单值实值函数X=X(),称X()为随机变量。 随机变量 是  R 上的映射, 此映射具有如下特点 定义域 事件域 。 随机性 r.v. X 的可能取值不止一个，试验前 只能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值。 概率特性 X 以一定的概率取某个值。 引入r.v.后, 可用r.v.的等式或不等式表达随机事件。 r.v.的函数一般也是r.v. 可根据随机事件定义 r.v. 设A 为随机事件，则称 1,  A X A  为事件A 的示性变量 0,  A  在同一个样本空间可以同时定义多个r.v. = {儿童的发育情况} X () — 身高, Y() — 体重, Z() — 头围. 各r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系—— 相互独立 (2) 随机变量的分布函数 对于非离散型随机变量X，我们考虑的是它落在某个 区间内的概率，即 P{x X x },由于 1 2 P{x X  x }= P{X  x }- P{X  x } 1 2 2 1 所以，我们仅需考虑 P{X x }与 P{X x }即可. 2 1 定义 设X是一随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P{X x } 称为X的分布函数. 对于任意实数x ，x (x x ),有 1 2 1 2 P{x X  x }= P{X  x }- P{X  x }=F(x )-F(x ) 1 2 2 1 2 1 分布函数F(x)的基本性质： 1、F(x)是一个不减函数. 2 、0  F(x)  1, 且 F () lim F (x )