凸优化理论笔记.pdf

Chapter 2 Convex Set 对于x1 x 2 Rn 连接两点的直线可表示为 x | x x (1)x ,R 1 2 连接两点的线段可表示为x | x x (1)x ,[0,1] 1 2 仿射集（Affine Set ） C C 定义： 是仿射集↔x , x C ，则连接两点的直线也在 内 1 2 一条直线是仿射集，一条线段则不是 平面是仿射集，一块矩形区域则不是 例：线性方程组的解集是仿射集 证：线性方程组的解集可表示为C {x | Ax = b, ARmn ,bRn } 设x , x C ，则Ax = b ，Ax = b 1 2 1 1 A x (1)x Ax + (1)Ax b (1)b b ，得证 1 2 1 2 仿射组合（Affine Combination ） , , , R 设k 个点x , x , , x ， 1 2 k 1 2 k 1 1 2 k 则称x x x 为x , x , , x 的仿射组合 1 1 2 2 k k 1 2 k 仿射包（Affine Hull ） 任意集合C Rn ，C 中任意元素的仿射组合构成的集合称仿射包 x , x , , x C 1 2 k affC x x x , ,, R 1 1 2 2 k k 1 2 k 1 1 2 k 如果一个集合的仿射包就是它自己，那么它就是一个仿射集 凸集（Convex Set ） C C 定义： 是仿射集↔x , x C ，则连接两点的线段也在 内 1 2 一条直线是凸集，一条线段也是凸集