维与二维连续随机变量的函数的分布.pdf

第31卷第6期 N。V．2005…’…～ · anruhaloJts西ewofofhtuoS N报ati’on自al然itie墅sN学at版uraII ScienceEdition Southwest南Un民iv族ers大ity学fo学r 文章编号：1003·2843(2005)06-0995-03 一维与二维连续随机变量的函数的分布 张洪川，盛克敏，马丽琼 (西南交通大学峨眉校区基础课部，四川峨眉614202)。 摘要：现行“概率论与数理统计”教材中关于一维与二维随机变量函数的概率分布讲法上不够简练，在系统性上有 欠完备，试图给出一定改进及讲法更新方面的一些建议．其中心内容是对一维随机变量单调函数的概率密度函数避免 用积分表示，直接用复合函数求导方法推出；对非单调函数用划分单调区间办法给出函数概率密度的一般表达式；对 二维变量试图用二维换元法给出推算二维函数分布的统一方法． 关键词：一维随机变量；二维随机变量；函数分布；函数变换 中图分类号：G642 文献标识码：A 1 关于一维连续随机变量的函数的分布 1．1 单调函数的分布函数与概率密度 善是一维随机变量，r／=厂(善)是善的单调增加函数，则有r／的分布函数为： ‘(y)=尸{叩y}=尸{厂(善)y)=尸{孝厂‘1(y)}=Fc[f叫(y)】 (1) 若r／=／(善)是善的单调减少函数，则r／之分布函数为： ‘(y)=P{，7Y)=尸{厂(善)Y)=P{孝厂‘1(y)}=1一Fc[f叫(y)】 (2) 对(1)、(2)式求导：％(y)：型攀丝：恢If～一(y)1If—t(y)】，l (3) ay 1．2非单调函数的分布函数与概率密度 E=max[f(x，)，厂(薯+I)】，4=rain[f(x,)，厂(薯+1)】，则有： ‘(y)=P{r／y)=P{彳(孝)y (4) 其中‘·‘项为单调增函数，乙+l-‘项为单调减函数．必须指出的是当Y骂时与Y无关，故： ％(y)：掣：窆终If,弋枷∥-l(删‰(力 (5) 其帆渺)=托4嚣E，Iai,Bj∽={：4蒜B． 1．3应用举例 例：已知毒～N(O，1)，r／=sin告，孝∈【一等，了5,rl】，求‘(y)，％(y)． 与最小值分别是层=l，4=一1．当iJ，}1时，按(4)式： 收稿日期：2005-07．20 作者简介：张洪川(1938。)，男，西南交通大学峨眉校区基础课部副教授 万方数据 西南民族大学学报·自然科学版 第3l卷 ‘(y)=∑喇∥(y)】+∑{1-FAf；’(y)】} i=0，±2 ，=±1 i=0，±2 J=±I m=o，±l，土2 0 Y一l ．‘．E(J，)=∑①【(一1)…蚓刀+arcsiny]lY|≤1 m=O，±l。士2 1 Yl 按(5)式，当IYI≤l时，即A，YB，时， P1胁卜”‰岫川2 啪)2邑删肘(_1)arcsin，±l，±2 、／l一Y m=O：t2，±1， 、／z石I