随机变量及其分布和随机变量的数字特征.ppt

数学期望的意义 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值 在E(X)附近摆动 数学期望又可以称为期望值(Expected Value)， 均值(Mean) E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的 可能值以其相应概率的加权平均。 定理　设 是随机变量X的函数 (1)若X为离散型随机变量，其分布律为 （ 当级数 绝对收敛时，则有： 　　 　 (2)　若X为连续型随机变量，其分布密度 为，则当 绝对收敛时，有： 数学期望的性质 相互独立时 当随机变量 . C 为常数 . . 均值反映了随机变量取值集中在哪一个值的 周围，是随机变量的位置特征值。但在许多实际 问题中，单凭随机变量的均值来刻画其取值的统 计规律性是不够的，还必须知道随机变量的取值 在其均值周围的分散程度。 为此，我们引入随机变量的另一个重要的数 字特征------方差。 定义： 设X是一个随机变量， 称 为标准差。 由方差的定义可知， 如X是离散型随机变量，其概率分布律为： 如X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x)： 方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大, 表示X 取值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好. 方差的意义 数学期望反映了X 取值的中心. 方差反映了X 取值的离散程度. (1) 设 C 是常数, 则有 (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 (3)设X为随机变量，C为常数，则 设 X ~ , 求 E(X), Var(X). 解: (1) E(X)= = 1 (2) E(X2) = = 7/6 所以, Var(X) = E(X2)?[E(X)2] = 7/6 ? 1 = 1/6 例 分　　布 参数 数学期望 方差 0-1分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 几何分布 定义 设 X 与 Y 是两个随机变量，称 E( X k )为 X 的 k 阶原点矩；称E{[X－ E( X )] k }为X 的 k 阶中心矩；称E( X k Y l ) 为 X 与 Y 的 k + l 阶混合原点矩；称 E{[X － E( X )] k [Y － E( Y )] l}为 X 与 Y 的 k + l 阶混合中心矩． （3）矩 两个随机变量除了相互独立之外，还存在不 相互独立的情况，即它们之间存在一定的相关关 系。但怎样刻划它们之间相关程度呢？ 从前面的讨论可见，若X与Y 独立，则 这意味着，如 则X与Y 不相互独立，而存在一定的相关关系。 为此，我们有： 称为随机变量 X与Y 的协方差。 记为 Cov (X,Y) 为随机变量X与Y 的相关系数。 定理： 当 较大时，表明 X, Y (就线性关系而言)联系较紧密。 特别当 时，由定理知X, Y 间以概率1 存在着线性关系，于是 是一个可用来表示X， Y之间线性关系紧密程度的量。 当 较大时，我们通常说 X, Y 线性相关的程度较好，反之，则较差。 特别当 时，称X和Y不相关(不存在线性 关系)。 不相关仅指不存在线性关系，并不意味着独立，它们之间还可能存在非线性关系。 把两个变量的相关扩大为若干对变量间相关，并把它们的相关系数按矩阵方式列出，称之为相关矩阵。 * * 从图中可以看出，对于固定的n及p，当k增加时，b(k;n,p)也随之增加并达到某极大值，以后又下降。此外，当概率p越与1/2接近时，分布越接近对称。 例：某人进行射击，设每次射击的命中率为0．02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。 解：将一次射击看成是一次试验．设击中的次数为X，则X～b(400，0．02)。X的分布律为 泊松分布 设随机变量X所有可能取值为0，1，2，…，而取各个值的概率为 其中?0是常数。则称X服从参数为?的泊松分布，记为X～丌(?) 。 易知，P{X=k)≥0，k=0，1，2，…，且有 关于泊松分布 历史上泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家普阿松引入的，近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一。 在实际应用中许多随机现象服从普阿松分布。这种情况特别集中在两个领域中。一是社会生活，对服务的各种要求：诸如