基于广场喷泉设计的数学模型.doc

“ 第二届湖北省土木工程争业大学生科技创新论坛论文集 2009年6月 基于广场喷泉设计的数学模型 叶俊，刘丰，张俊峰 (武汉大学土木建筑工程学院土木工程，湖北武汉430072) 摘要：本文在露天广场上的喷泉射出的水流会受风影响的背景下讨论了喷泉喷出水流的距离和高度与风力强度、 水管直径、风速计位置及水滴半径之问的关系。首先从实际喷泉模型中抽象出一个标准形式的喷泉模型，通过建 立的算法来调整水速防止水滴超出限定的范围。 关键词：单喷流喷泉；竖直喷射；斜向喷射 1引言 在宽阔的露天广场上装饰喷泉把水喷向高空， 刮风时，风会把水花从喷泉吹向过路行人．在邻近一 栋楼房的顶上安装有一个风速计用于测量风的速 度和方向，与风速计相连的一个机械装置可控制喷 泉射出的水流，为行人在赏心悦目的景象和淋水浸 湿之间提供可以接受的平衡，即：风刮得越猛，水 量和喷射高度就越低，从而较少的水花落在水池范 图1喷泉模拟图 1)上升阶段 围以外。要求运用风速计给出的数据设计一个算 在上升阶段，由于水柱重力的影响远远比空气 法，随着风力条件的变化来调整由喷泉射出的水 阻力大，因此不考虑空气阻力而仅仅考虑重力和风 流。 2模型建立 力的作用．现给出流体力学中的一个公式— — 流体 型阻力计算公式： 根据流体力学理论，空气作为一种特殊的流 考虑到水在空气中运动情况，将其运动的过程 体，运动在其中的物体所受的粘滞力满足如下普遍 分为上升和下降两个阶段．在上升阶段，由于高处的 公式： 水柱速度小且其重力对下面部分的水柱有影响，水 的粘滞力足以使水结合在一起，故水一直呈柱状． 在最高点处，竖向速度变为0，水开始向下运动， 1 D=寺白风△1，2彳 Z 经过一小段距离后，由于水滴之间的粘滞力不足以 其中，D表示物体所受的粘滞力；Cd为型阻 将水柱约束成一个整体，在重力的作用下，水柱迅 系数，一般取为0．28-0．34：风为空气的密度，一 速地变为水花，假设每个水滴的大小都是一样的。 般情况下取1．29kg／m3；△Ⅳ表示运动的物体相对于 于是，在下降阶段，认为是水滴的运动过程。实际 空气的速度；A表示物体运动时在风的方向上的投 上，水在从管口喷出来时，一方面要受管壁粘滞阻 力的作用，另一方面要受到空气卷积的作用，这样 影面积。 不可避免地会形成水花，由于水花较少，忽略这一 部分的影响。另外，水柱在向下运动而形成小水滴 经过的这部分距离由于很小，因此也忽略不计，即 认为水柱到达最高点后就全部成了水滴。因此，在 — — — — — — — — ．|卜 — — — — — — 斗 风力— — — _ — — — — — — 叶 — — — — — — — o — — — — — — — ◆ 下降阶段，可以仅考虑一个水滴的运动情况。 2．1竖直喷射 此时的喷泉模拟图如图l所示： 图2水柱．元受力图 作者简介：张俊，男，本科生，武汉大学土木建筑学院土木工程专业 通信联系人：傅旭东。(1966一)男，教授。垮士生导师，武汉大学土木工程建筑学院土木工程专业  2009年6月 第二届湖北省土木工程专业大学生科技创新论坛论文集 45 由几何关系，又可得到： 现截取水柱的一个长为d，微元作为研究对 象，设水在水平方向上任意时刻的加速度为a。， 彳=J· 砂 玛=气1呀铲· 砂 在水平方向上任意时刻的速度为1，，，微单元的质 将以上数据代入方程(4)中，得到： 量为，，ll，迎风的面积为彳，。在竖直方向上由于忽 略了空气阻力的作用，仅有重力起作用，于是设水 s．：业一405 8．d． 1 l 0 出管时的初速度为vo，运动到最高点需要的时间为 t。最高点距喷水口为H，最高点水平速度为匕o， ln三：兰鱼兰!竺：：：!：生 d ‘5’ 2)下降阶段 重力加速度用g表示，于是在水平方向上单元体作 在下降阶段，由于水滴的半径通常很小(为 变加速运动，在竖直方向上作匀减速运动。其受力 如图2所示，利用牛顿第二定律，可以得到以下关 lmm～2ram之间)，空气的阻力相对于重力和风 力均不可忽略。为此取一个水滴作为研究对象，其 系： 水平方向上： 受力为重力，风力，空气阻力，设其质量为m，。 D=j1 c几(v，叫)2 A=maax=％鲁 ㈩ 引入符号Z表示竖直方向上的空气阻力，’，，表示 在竖直方向上任意时刻的速度，a，，表示竖直方向上 竖直方向上： 任意时刻的加速度。在水平方向上由于空气阻力相 f一％ ‘一一 g (2) 对于风力很小，故可以忽略不计。水滴的受力如图 3所示： 日：上L 其中，K lf-0=0 风力 — — — — — — o — — — — — _◆ — — — — — — — ◆ — — — — — — — ◆