概率论与数理统计_---_第二章{一维随机变量及其分布}_第四节：连续型随机变量及其概率密度.ppt

作业 习题2-3 2,4,5 习题2-4 2,4,5,6, 7,8 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 和 表示： 标准正态分布(Standard Normal Distribution) 的性质 : 标准正态分布的重要性在于, 任何一个的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 引理 *证: Z的分布函数为 则有: 根据引理,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题. 于是: 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表. 正态分布表 当 x 0 时 , 表中给的是 x 0 时, Φ(x)的值. 若 若 X～N(0,1), ~N(0,1) 则 由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明,X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内, 超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 当X～N(0,1)时， P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544 P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974 3 准则 将上述结论推广到一般的正态分布, 可以认为，X 的取值几乎全部集中在 区间内. 在统计学上称作“3 准则” . ~N(0,1) X ～ N(μ, σ2) 时， 标准正态分布的上 分位点 设 若数 满足条件 则称点 为 标准正态分布的上 分位点. 由对称性可知， 例4 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 ? X ? 1.6), P (X -1), P (∣X ∣3). 解 附表 看一个应用正态分布的例子: 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定? 例5 解 P(X≥ h)≤0.01 或 P(X h)≥ 0.99， 下面我们来求满足上式的最小的h . 设车门高度为h cm,按设计要求 因为 X～N(170,62), 故 P(X h)= 查表得 (2.33)=0.99010.99 因而 = 2.33, 即 h=170+13.98 184 设计车门高度为184厘米时， 可使男子与车门碰头机会 不超过0.01. P(X h ) 0.99 求满足 的最小的 h . 所以 . 概率论 概率论 第四节 连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量及其概率密度函数 概率密度函数的性质 三种重要的连续型随机变量 则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度函数, 简称为概率密度 . 一、连续型随机变量及其概率密度函数 对于随机变量 X 的分布函数 F (x) , 如果存在非负可积函数 f (x) , 使得对任意实数x , 有 连续型随机变量的分布函数在 上连续 (Continuous Random Variable) (Probability Density Function) 二、概率密度函数的性质 1 o 2 o f (x) x o 面积为1 这两条性质是判定一个 函数f(x)是否为某r.v. X 的 概率密度的充要条件 对于任意实数 x1 , x2 (x1 x2 ), 利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有 故X的密度 f(x) 在 x 这一点的值, 恰好是X 落在 区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于线密度. ☆若 x 是 f(x) 的连续点，则 对 f(x)的进一步理解: ☆若不计高阶无穷小，有 表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 . 在连续型 r .v.理论中所起的作用与 在离散型 r .v. 理论中所起的作用相类似. 注意: 密度函数 f (x)在某点处a的高度, 并不反映X取值的概率. 但是, 这个高度越大, 则X取a附近的值的概率就越大. 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. f (x) x o a 注意: 密度函数 f (x)在个别点的函数值不影响分布函数F(x)的 取值，故f (x)在个别点的函数值可以随意确定。因此由