随机变量及其分布(第二讲).ppt

密度函数图 决定了图形 的中心位置. 决定了图形中峰 的陡峭程度. f(x)的性质: 曲线f(x)关于轴 对称； ■ ■ 函数f(x)在 取得最大值； x =μ?σ为 f (x) 的两个拐点的横坐标； ■ f (x) 以x 轴为渐近线. ■ 注意: X以很大概率在 的附近取值。 越小，X落在 附近的概率越大，即分布越集中在X= 附近。 对于同样长度的区间，当区间离X= 点越远， X落在这个区间上的概率越小。 0 0 1713年出版的巨著《推测术》, 是组合数学及概率史的一件大事. 书中给出的伯努利数、伯努利方程、伯努利分布等, 有很多应用, 还有伯努利定理, 这是大数定律的最早形式. 例：药物毒性试验 火箭发射试验 （成功，失败） （死亡，存活） 定义 只有两种结果的随机试验，称作 伯努利试验。 3. 伯努利试验 假定伯努利试验中某一结果记为事件A，则另一结果为 同时假定： 那么，在n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率为多少? n重伯努利试验 在相同条件下重复进行n次独立伯努利试验。 二、二项分布(binomial distribution) n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率: 且两两互不相容. A在n次试验中出现k次的方式共有 种 1)由独立性，每k次发生的概率为： 2)由互斥性, A在n次试验中出现k次的概率为： 二）二项分布(binomial distribution) 定理2.1 n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率: 联系二项展开公式： 展开式的通项 正是 二项概率公式 定义2.6 如果离散型随机变量 的分布列为 则称 服从参数为n与p的二项分布。 记作： 例：已知某药有效率为0.7，今用该药试治某病3例，求有效人数为0，1，2，3的概率。 解：设X表示治疗有效的人数， 例: 据报道，有10%的人对某药有胃肠反应。为考察某厂的产品质量，现任选5人服用此药。试求:（1）k个人有反应的概率(k=0,1,2…)；（2）不多于2个人有反应的概率；（3）有人有反应的概率. 分析：设X表示有反应的人数，则 0 1 2 3 4 5 0.59049 0.32805 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001 分布列： 0.59049 0.91854 0.99144 0.99954 0.99999 1 EXCEL：BINOMDIST（2，5，0.1，true） 例：若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005，现有10,000个这类人参加保险，试求在未来一年中在这类保险者里面有40个人死亡的概率。 例：生三胞胎的概率为0.0001，求在100,000次生育中，有5次生三胞胎的概率，以及有10次生三胞胎的概率。 Poisson (1781-1840) 法国数学家 Poisson (1781-1840) 泊松 青年时期曾学过医学, 后因喜好数学, 于1798年入巴黎综合工科学校深造. 毕业时,因研究论文优秀而被指定为讲师, 1806年任该校教授, 1812年当选为巴黎科学院院士. 三）泊松分布( Poisson distribution) 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布, 都可以看作泊松分布, 其参数?可以由观测值的平均值求出. ■某医院一年中生三胞胎的孕妇数目X； ■某种少见病的发病例数Y; ■矿井在某段时间发生事故的次数; ■显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； ■排队等待服务的顾客数目. 泊松分布在各种领域中有着极为广泛的应用. 定义2.7 如果离散型随机变量的分布列为 则称 服从参数为 的泊松分布，记为 。 定理2.2（泊松定理）在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中出现的概率为 （与试验总数n有关），如果当 n很大时， 为一常数），则有 记为 作用：当n很大 很小，而n → 时，可以用泊松公式近似替换二项公式。 二项分布的泊松逼近 练习：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。 = 0.997 解：将每一次射击看成是一次试验，设击中次数为X， 则X~B(400,0.02), 即X的分布律为 故所求概率为 二项分布与泊松分布的联系： （1）都是某一离散型随机变量取值k的概率； （2）二项分布中变量可取的值是有限的，最大等于n；