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第三章 第一节 多维随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布the multidimensional random variable and its distribution 目 录 §3.1 多维随机变量及其分布 §3.2 边缘分布及条件分布 §3.3 随机变量的独立性 §3.4 多维随机变量函数的分布 说 明 本章介绍多维随机变量及其相关的问题，但主要以介绍二维随机变量为主． §3.1 多维随机变量及其分布 (the multidimensional random variable and its distribution) 一．多维随机变量的概念及其分布函数 二维随机变量 (two-dimensional random variable) 注 意 事 项 二维随机变量的例子 二维随机变量的分布函数(the distribution function of two-dimensional random variable) 二元分布函数的几何意义 一个重要的公式 二维随机变量分布函数的性质（一） 二维随机变量分布函数的性质（二） 二维随机变量分布函数的性质（三） 二维随机变量分布函数的性质（四） 说 明 n 维随机变量(n-dimensional random variable) n维随机变量的分布函数(the distribution function of n-dimensional random variable) 二．二维离散型随机变量(two-dimensional discrete random variable) 二维离散型随机变量(two-dimensional discrete random variable) 二维离散型随机变量的联合分布律(joint distribution law) 二维离散型随机变量的联合分布律 二维离散型随机变量联合分布律的性质 例 1 例 1（续） 例 2 例 2（续） 二维离散型随机变量的联合分布函数(joint distribution function) 三．二维连续型随机变量(two-dimensional continuous random variable) 二维连续型随机变量 二维连续型随机变量密度函数的性质 二维连续型随机变量的概率计算 二元分布函数与密度函数的关系 例 3 例 3（续） 例 4 例 4（续） 例 5 二维均匀分布(two-dimensional uniform distribution) 二元正态分布(two-dimensional normal distribution) * * y O x ( x, y ) x y 性质1 对任意的，有 ； 性质2 ． 设是一个随机试验，， 是该样本空间上的两个随机变量．则称 为样本空间上的二维随机变量． ⑴ 二维随机变量也称为二维随机向量． ⑵ 我们应把二维随机变量 看作一个整体，因为与是有联系的． ⑶ 在几何上，二维随机变量可以看作是平面上的随机点． 1．考察某地区成年男子的身体状况．令：该地区成年男子的身高．：该地区成年男子的体重．则就是一个二维随机变量． 2．对同一目标进行射击．令：弹着点与目标的水平距离．：弹着点与目标的垂直距离．则就是一个二维随机变量． 3．考察某地区的气候状况．令：该地区的温度．：该地区的湿度．则就是一个二维随机变量． 4．考察某钢厂钢材的质量．令：钢材的含碳量．：钢材的含硫量．则就是一个二维随机变量． 设是一个二维随机变量，则对任意一对实数， 是随机事件，因而有概率．并且这个概率是的函数．我们称此函数为二维随机变量的（联合）分布函数，记作，即 ． 二维随机变量分布函数的几何意义： 表示平面上的随机点落在以为右上顶点的无穷矩形中的概率． 设，，则 设二维随机变量的分布函数为． 对分量（或）是单调不减的函数，即 当时，有； 当时，有． 设二维随机变量的分布函数为． 对分量（或）是右连续的函数，即 对任意的，有； 对任意的，有． 设二维随机变量的分布函数为．则 对任意的，有； 对任意的，有； ；． 设二维随机变量的分布函数为． 对任意的，，有 ． 上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本性质．即，任何一个二维随机变量的分布函数都应具备上述的四条性质；反之，如果一个二元函数具有上述四条性质，则它必是某一个二维随机变量的分布函数． 设是一个随机试验，是其样本空间， 是该样本空间上的个随机变量．则称 为样本空间上的维随机变量．