概率论与数理统计课件第五讲.ppt

作业 习题2 2.19 2.20 2.21 例5： 设随机变量 X 的密度函数 解： 求 F(x) . 对 x -1，有 F(x) = 0； 对 x =1， 有 F (x) = 1. 即 问题的提出 在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如: 已知圆轴截面直径 D 的分布, 求截面面积 的分布。 2.4 随机变量函数的分布 又如：已知 t=t0 时刻噪声电压 I 的分布， 求功率 W=I2R (R为电阻) 的分布等。 一般地，设随机变量 X 的分布已知，求Y = g(X) (设 g 是连续函数) 的分布。 设X是一维随机变量， g(x)为一元函数，那么Y = g(X)也是随机变量，称为随机变量X的函数。 2.4.1 离散型随机变量函数的分布 解：当 X 取值 -1，0，1，2 时， Y 取对应值 4，1，0 和 1。 由 P{Y=0} = P{X=1}=0.1， P{Y=1} = P{X=0}+P{X=2} = 0.3+0.4 = 0.7， P{Y=4} = P{X=-1} = 0.2 . 例4.1：设随机变量 X 有如下概率分布： 求 Y= (X – 1)2 的概率分布。 得 Y 的概率分布： 例4.2 在应用上认为：单位时间内，一个地区发生火灾的次数服从泊松分布。设某城市一个月内发生火灾的次数X～P(5),求Y=|X-5|的概率分布。 对任意Y=i，当0i≤5, 有k=5+i和k=5-i两个值使得|k-5|=i；当i=0或i≥6 时，只有k=5+i使得|k-5|=i。 故：随机变量Y取值为i的概率 解：由题意知X所有可能取值为{0,1,2,…},有其对应的概率分布 和 Y= |X – 5|知，Y所有可能取值为{0,1,2,…} 把 yi 所对应的所有xk ( 即yi = g(xk) ) 的 pk相加， 记成 qi , 则 q1, q2, …, qi ,…就是Y = g(X) 的概率分布。 一般地，若X是离散型随机变量，概率分布为 如果 g(x1), g(x2), …, g(xk), … 中有一些是相同 的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同 (不妨认为从小到大) 的 y1, y2 ,…, yi ,…. 2.4.2 连续型随机变量函数的分布 解：设 X 的分布函数为 Fx(x) ,Y 的分布函数为 FY(y)，则 例4.3：设随机变量X 有概率密度 求 Y = 2X+8 的概率密度。 于是Y 的密度函数 注意到 得 求导可得 当 y0 时, 例4.4：设 X 具有概率密度fX(x)，求Y=X2的密度。 解：设Y 和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x), 注意到 Y=X2 ≥0，故当 y≤0时，FY(y)=0； 若 则 Y=X2 的概率密度为： 从上述两例中可以看到, 在求P(Y≤y)的过程中, 关键的一步是设法从{ g(X)≤y }中解出X,从而得到与 {g(X)≤y }等价的X的不等式 。 例如: 用{X≤(y-8)/2 } 代替 {2X+8≤y}, 用 代替{ X2≤ y }。 这样做是为了利用已知的 X的分布，求出相应的Y的分布函数 FY (y)。 这是求随机变量函数 Y = g(X) 的分布函数的一种常用方法。 下面给出一个定理，当定理的条件满足时，可直接求连续性随机变量函数的概率密度 。 定理的证明与前面的解题思路类似。 其中 x = h(y) 是 y = g(x) 的反函数， 定理1: 设 X是一个取值于区间[a, b], 具有概率密度 fX(x)的连续型随机变量, 又设 y= g(x) 是在[a, b]上处处可导的严格单调函数, 记 (α, β) 为g(x)的值域，则随机变量Y = g(X)是连续型随机变量，概率密度为 例4.5.已知X?N(?,?2),求 解： 的概率密度 关于x严格单调函数,反函数为 故 例4.6：设随机变量X在 (0,1) 上服从均匀分布，求 Y=-2ln X 的概率密度。 解：在区间 (0, 1) 上， 于是 y = -2ln x 在区间 (0,1) 上严格单调下降， 有反函数 由前述定理，得 注意取 绝对值 已知 X 在 (0,1) 上服从均匀分布， 代入 的表达式中 得 即Y 服从参数为1/2的指数分布。 本讲首先随机变量的分布函数。分别讨论了离散型随机变量的概率分布和分布函数的关系，连续型随机变量的概率密度和分布函数的关系等。其次为