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第二章 第三节 连续型随机变量 §2.3 连续型随机变量 (continuous random variable) 一.连续型随机变量的概念与性质 连续型随机变量(continuous random variable)的定义 说 明 一个重要公式 一个重要公式（续） 连续型随机变量密度函数的性质 注 意 连续型随机变量的一个重要特点 说 明 由连续型随机变量的上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心的不是它在某些个别点上的取值问题（因为它在每一个个别点上取值的概率全为0！）．我们关心的是它在某一区间上取值问题．这正是两类随机变量在处理上的差异所在！ 说 明 例 1 例 1（续） 例 2 例 2（续） 连续型随机变量的分布函数 说 明 由上面的公式可知，连续型随机变量的分布函数与密度函数之间的关系，可以认为是原函数与导函数之间的关系． 例 3 例 4 例 4（续） 例 4（续） 三.一些常见的连续型随机变量 1．均匀分布(uniform distribution) 密度函数的验证 均匀分布的概率背景 均匀分布的分布函数 例 5 例 5（续） 例 5（续） 例 6 例 6（续） 2．指数分布(exponential distribution) 密度函数的验证 指数分布的分布函数 指数分布的无记忆性 指数分布的无记忆性 例 7 例 8 例 8（续） 3．正态分布(normal distribution) 标准正态分布(standard normal distribution) 密度函数的验证 密度函数的验证（续） 密度函数的验证（续） 正态分布密度函数的图形 正态分布密度函数的图形性质 正态分布密度函数的图形性质（续） 正态分布密度函数的图形性质（续） 正态分布的重要性 标准正态分布的计算 标准正态分布的计算（续） 一般正态分布的计算 一般正态分布与标准正态分布之间的关系 例 9 例 10 例 10（续） 例 11 例 11（续） 4．Γ- 分 布 Γ- 函 数 简 介 Γ分布一些特例（一） Γ分布一些特例（二） Γ分布一些特例（三） * * 二. 连续型随机变量的分布函数 ⑵ 当时，函数取最大值 ． 这个最大值与参数成反比．因此，当越大时，最大值就越小．同时还表明，对于同样长度的区间，当该区间离点越远时，随机变量落在该区间上的概率就越小 当时， ． 即随机变量的分布函数为，因此的密度函数为．这表明，随机变量服从参数为的指数分布． 设随机变量，则对其分布函数 ， 作变换，，代入上式，得 ， 即有 设是一个随机变量，其分布函数为，如果存在一个非负可积函数，使得对任意的，有 ， 则称是连续型随机变量．并称为连续型随机变量的分布密度函数（或称概率密度函数，概率密度，密度函数）． 如同离散型随机变量的分布律一样，连续型随机变量完全由其密度函数所确定． 设是连续型随机变量的密度函数，则对于任意的，有 ． 即 由公式可知，对于连续型随机变量来讲，随机变量落在区间上概率，就是的密度函数在区间上的积分． 从几何上讲，随机变量落在区间上概率，就是以曲线，以及直线，，所围的曲边梯形的面积． 连续型随机变量的密度函数具有如下性质： ⑴ 对任意的实数，有； ⑵ ． 由连续型随机变量密度函数的性质可以看出，连续型随机变量的密度函数与离散型随机变量的分布律非常相似，但是我们要注意： 密度函数不是概率！ 我们不能认为： ！ 事实上，连续型随机变量在任何一点取值的概率都为0！，． 证明： 设是连续型随机变量的密度函数，由 ，以及概率的连续性，得 对于连续型随机变量，设是其密度函数，则 因此，若设是直线上的区间（可以是开区间，或是闭区间，或是半开半闭区间；还可以是无穷区间），则 ． 设是连续型随机变量，其密度函数为 ． 求⑴ 常数；⑵ ． 解： ⑴ 由密度函数的性质，得 ， 所以，． ⑵ 某类电子元件的使用寿命（单位：小时）是以 为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的电子元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率． 解： 设． 则 ． 检验5个同类型的电子元件的使用寿命可以看作是一个5重Bernoulli分布． 令：5个元件中使用寿命不超过150小时的元件数．则． ． 则 ． 设是连续型随机变量，其分布函数为，密度函数为，则由定义， ． 由此可知，分布函数是连续函数．并且对于几乎所有的，有 ． 注意：上式对于的连续点必须成立． 设连续型随机变量的分布函数为 ． 试求随机变量的密度函数．