概率统计GT2-1.ppt

第二章 第一节 随机变量及其分布函数 第二章随机变量及其分布(random variable and its distribution) 目 录 §2.1 随机变量及其分布函数 §2.2 离散型随机变量 §2.3 连续型随机变量 §2.4 随机变量函数的分布 §2.1 随机变量及其分布函数(random variable andits distribution function) 一．随机变量的概念 例 1 袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数． 我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为 例 1（续） 我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为1，2，3． 因此， X 是一个变量． 但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X的取值带有随机性， 所以，我们称 X 为随机变量． X 的取值情况可由下表给出： 例 1（续） 例 1（续） 由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间Ω上的函数： 随机变量(random variable)的定义 设E是一个随机试验，Ω是其样本空间．我们称样本空间上的函数 说 明 例 2 掷一颗骰子，令： X：出现的点数． 则 X 就是一个随机变量．它的取值为1，2，3，4，5，6． 例 3 一批产品有 50 件，其中有 8 件次品，42 件正品．现从中取出 6 件，令： X：取出 6 件产品中的次品数． 则 X 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，2，…，6． 例 4 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数． 则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，…． 例 5 观察某生物的寿命（单位：小时），令： Z：该生物的寿命． 则 Z 就是一个随机变量．它的取值为所有非负实数． 例 6 掷一枚硬币，令： 说 明 在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量． 例 7 掷一枚骰子，在例2中，我们定义了随机变量X表示出现的点数．我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义： 二．随机变量的分布函数 分布函数(distribution function)的定义 设 X 是一随机变量，则对任意的实数 x 说 明 ⑴．任意随机变量都有分布函数． ⑵．任意随机变量的分布函数的定义域为 分布函数的性质（一） 分布函数的性质（二） 分布函数的性质（三） 说 明 上述三条性质是分布函数的最基本的性质，即任何随机变量的分布函数都具有这三条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一一元函数具有这三条性质，那么，它一定是某一随机变量的分布函数（证明略）． 用分布函数计算某些事件的概率 用分布函数计算某些事件的概率 用分布函数计算某些事件的概率 例 8 例 8（续） 例 9 设随机变量 X 的分布函数为 例 9（续） 解方程组 * * 我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如 表示取出2个黑球这一事件； 表示至少取出2个黑球这一事件，等等． 为一个随机变量，如果对于任意的实数 x ，集合 都是随机事件． 表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件； 表示掷出的点数为偶数这一随机事件． 表示取出的产品全是正品这一随机事件； 表示取出的产品至少有一件次品这一随机事件． 表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件； 表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件． 注意 Y 的取值是可列无穷个！ 表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件． 注意 Z 的取值是不可列无穷个！ 表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件． 则X是一个随机变量． 等等． 是随机事件，因此 是有意义的，而且它是 x 的函数，我们称此函数为随机变量 X 的分布函数，记作 ⑶．随机变量的分布函数依赖于该随机变量． ⑷．若将随机变量 X 看作直线上的随机点，则X的分布函数是 X 落在区间 上的概率． 解： 由分布函数的性质，我们有 * 样本点 黑球数X 样本点 黑球数X 3 1 2 2 2 2 2 1 2 1